3. 不可测集与选择公理、数学的严密性
回顾一下“不可测集”这个词的意思:在勒贝格测度的意义下,总有一些集合是没办法定义测度的,这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是:一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的,不可测集非常罕见。
不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实,要是能给直线的任何一个子集定义长度,这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形,一个人们通过直觉认定的美妙设想,偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了,但是数学毕竟受制于逻辑,不管一个反例多么煞风景,只要它确实成立,数学家也只好接受它。
可是不可测集这个例子有点不同:构造不可测集,用到了选择公理。
回顾一下“不可测集”这个词的意思:在勒贝格测度的意义下,总有一些集合是没办法定义测度的,这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是:一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的,不可测集非常罕见。
不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实,要是能给直线的任何一个子集定义长度,这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形,一个人们通过直觉认定的美妙设想,偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了,但是数学毕竟受制于逻辑,不管一个反例多么煞风景,只要它确实成立,数学家也只好接受它。
可是不可测集这个例子有点不同:构造不可测集,用到了选择公理。