以下是一些最基本也是最著名的例子和命题,请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的,证明可以在参考文献[1]上查到:
※每一个集合都和它自身等势。
注:废话。
※全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。
注:这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说:一个集合可以和它的一部分一样多!——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的,本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多,只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。
※全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。(什么是有理数来着?查书去!)
注:这是在数学上很重要的一个例子,说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势,不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子!
※全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。
注:睁大眼睛,迄今为止最重要的一句话出现了!你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一,可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了:并不是所有的无穷集合都是等势的,有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多,换句话说,无穷之间也是有大小的。
※任给一个无穷集合,我们都能够造出一个集合包含它,而且和它不等势。
注:换句话说,无穷和无穷相比,没有最大,只有更大。——但是请注意,虽然我们能够造出越来越大的无穷集合,但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣,因为和这个世界没什么关系。
※如果两个集合都和第三个集合等势,那么它们彼此也等势。
注:好像也是废话,但是它引出了下面的重要陈述。
※有很多集合都和全体正整数的集合等势,从而它们彼此也等势,我们称所有这样的集合为“可数无穷的(countably infinite)”。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大,我们称所有这样的集合为不可数无穷的(uncountably infinite)。但是,不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。
注:我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们,全体正偶数的集合是可数无穷的,全体有理数的集合是可数无穷的,但是全体实数的集合是不可数无穷的。
※在不可数无穷集合中间,有些集合是和全体实数的集合等势的,这些集合被称为“连续统(continuum)”
注:好了,现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统,剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集,但是它们几乎和真实世界没有任何关系,所以忽略之。(有人不愿意忽略它们,非要去研究里面的一些麻烦的问题,于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论,比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特别著名,很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我,你不可能弄明白的。)