首先,这种推广是必须的:只对有限个的子集定义测度的可加性,这样得出来的测度会不满足人们的需要,——不仅仅是给长度一个精确定义的需要。测度论不只是为哲学家发明的,它要在数学的其他领域里以及别的自然科学领域里得到应用,而在这些场合里,我们时刻会碰到对无穷个集合的并集的测度的计算。我们必须在定义里就保证测度能够无穷相加。
可是另一方面,为什么又偏偏要限制可数无穷个集合才有可加性呢?
事实上,我们很容易就会发现,正是这一点促成了前面那个问题的出现:为什么线段具有长度?如果我们假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和,那么,既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度,那线段也应该没有长度才对。难道这一条是专门为了避免这个悖论才设置的么?
不是。我们很快就能看到,这种对于可数性的限制,有着更为本质的原因存在。
可是另一方面,为什么又偏偏要限制可数无穷个集合才有可加性呢?
事实上,我们很容易就会发现,正是这一点促成了前面那个问题的出现:为什么线段具有长度?如果我们假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和,那么,既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度,那线段也应该没有长度才对。难道这一条是专门为了避免这个悖论才设置的么?
不是。我们很快就能看到,这种对于可数性的限制,有着更为本质的原因存在。