判断关于x,y,z的不定方程(x+y)(xy-1)=z²+1有没有正整数解，并证明为什么没有解

对每个正整数n都存在唯一一对整数m与r, 使得n=m(m+1)/2+r 并且m>0, 0≤r≤m, 用r(n)表示每个n所对应的r 是否存在非负整数s使得对任意正整数k, 都存在由正整数组成的长度为k, 公差非0的等差数列a₁,a₂,a₃,…,a_k, 使得r(a₁)≤s, r(a₂)≤s, …, r(a_k)≤s ? 如果不存在的话, 可不可以求出k=4时, 对于由正整数组成的公差非0的等差数列a,b,c,d, max{r(a),r(b),r(c),r(d)}的最小值

话说这个式子是否成立？如果成立，又应该怎么证明捏？这里d是除数函数，α是某个正数。

求助20

如果a,b,c,d是等差数列，证明ab+1,ac+1,ad+1,bc+1,bd+1,cd+1不全是完全平方数

对于正整数n, 设f(n)是使得mn等于某个正整数阶乘的最小的正整数m 是否存在正实数α, 使得对任意正整数k, 都存在k个组成等比数列的不全相等的正整数a₁,a₂,…,a_k，满足log f(a_i)≤α*log(a_i) 对i=1,2,…,k都成立?? (和之前的问题有点像~)

吧主是学生吗，还是老师，或是别的什么呀？ 怎样才能像吧主一样强

一个10的倍数x（x≥20）,至少能拆分成四对素数。 每对素数之和= x.怎么证明呢？

要求，x，y，z满足的最小多项式。

如题，对三立方和研究的科普又不少，但对解的充要性研究似乎没怎么讲。 x^3+y^3+z^3=1或2已经给出了一系列无穷多的解，但似乎没讲是否穷尽充要解，x^3+y^3+z^3=3或33或42也没讲。 谁科普一下？

x^2+y^2-2xy=(x-y)^2是显而易见的，x^3+y^3+z^3-3xyz相对困难，但我也猜出来了，x^3+y^3+z^3-3xyz=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)(x+y+z)，那么一般形式是怎样的，有没有谁教教我？

三元一次不定方程的基础解法有解时能给出所有解组的计数总数，无解时也能给出全部的n值。f（n）=（n（n+a+b+c）+R）/（2abc），R可用abc代数给出，当n无非负整数时，也可以用abc代数给出全部解，具体解法比求有解时更精彩！ 设a>b>c，（a，b，c）≡1，求ax+by=cm+r，r<c 由结构式知x或y有最小解x=u，y=v 则解同余方程组：Am+Br=u（modb），Cm+Dr=v（moda），这样可以求出m和r，找到最大值m有最小解 例：37x+29y+11z=n无非负整数解， （u，v）的10组解是（3，0）

有两个数字 a 和 b，它们在 k-进制下，长度恰好为 h 的正整数。我们可以定义一个二元运算 ⊕，它看起来有点像是把两个数字的各个位反复“叠加”起来，然后通过取它们的最后 h 位得到结果。 例如： - a = 112，b = 896（这两个数字在十进制下有 3 位） - 运算 a ⊕ b 可能就像这样： a ⊕ b = 112112112 + 896896896 = ... 但是，最终，我们只关心这个结果的最后 h 位数字。 猜想： > “对于每一个正整数 n，能否证明 k^h ⊕ n = n？”

n为正整数, 可以证明存在唯一一对正整数r, m, 使得其中r是无平方因子数 (因数中没有大于1的完全平方数)，并且n=r*m² 用f(n)表示n的无平方部分r，是否存在正整数a, b, c, k使得f(a)=f(a+k), f(b)=f(b+k), f(c)=f(c+k) (a,b,c两两互不相等) ?? ~~~ 使得f(a)=f(a+k), f(b)=f(b+k)的正整数(a,b,k)是有无穷多组的，可以用pell方程的解来构造 设(x, y), (x', y')是x²=2y²+1的两组不同正整数解, 并且x<x', 那x'²-x²=2y'²-2y²>0, 只要设这个差为k, 让a=x², b=2y², 则f(a)=f(a+k)=1, f(b)=f(b+k)=2

发现新的梅森素数，怎么看都是数论领域的重大突破啊！ 除了为了荣耀，还有更具体的意义，每个梅森素数都对应一个偶完美数，完全可以说为了完美啊！ 要是再考虑到目前还没发现奇完美数，偶完美数只有和梅森素数挂钩的唯一形式，那意义就更重大了啊！

设p为素数，则方程x²+3y²=p有整数解当且仅当p≡1(mod6）.

(6*1x+1)(6*2x+1)(6*3x+1)，6=1+2+3，卡迈克尔数可以由完全数构造，奇完全数可能存在卡迈克尔数判别式之中

可不可以证明或推翻: (1)对任意正整数k>2, 存在无穷多对正整数(a, b)使得a,b>k, 并且对任意正整数k'≠k, {a/k}+{b/k}≥{a/k'}+{b/k'} (2)对任意正整数k, 都存在对应的正整数N, 使得对任意正整数a,b≥N, 总存在k'>k使得{a/k}+{b/k}<{a/k'}+{b/k'} 这两个猜测都不太方便检验，不知道能不能证明或证伪

众所周知，设正整数n=（m^2）n*，则n可以表示成两个整数的平方和，当且仅当n*没有素因子p，使得p≡3（mod4） 现在的猜想是：满足n=x^2+y^2的解有多少个 设n=（2^l）（p1^a1）（p2^a2）...（ps^as）*（q1^b1）（q2^b2）…（qt^bt）其中pi≡1（mod4）qi≡3（mod4） 则n的解的个数为2（a1+1）（a2+1）…（as+1）个 例如：2450=2*5^2*7^2 则（x，y）=（7，49）（-7，-49）（49，7）（-49，-7）（35，35），（-45，-35） 再例如2420=22^2+44^2共4组解

完美数

y²=x³除了（x=t²，y=t³，t是整数）有其他形式解吗？

求助一个抽象代数问题

如果n≥3，有n个两两不同的非零整数，它们正好组成一个等差数列，那它们的乘积不可能等于1个整数的n次方 对一般的n已经有了一种证明的想法，可惜贴子字数有限，这里写不下 (´∀`)

求解21题，我知道F同构于Z/pZ，难道这就可以说明α和他的任意次幂属于Z/pZ吗

4个平方数可以表示所有正整数，4个立方数可以表示所有正整数，平方数不能是负数，立方数比平方数稀些但是立方数可以选择负数，x²+y²－z²可以表示所有正数，所有负数应该也能表示吧！但是这里用到减法，这种题不能出现减法，奇次幂如果选负数可以出现减法，但是偶数不能，所以x²+y²－c²不行，方程变为别n=x∧a+y∧b+z∧c，a b c是三个素数，a≤b≤c。如果a=2，b c两数不是2，就变成n=x²+y∧b+z∧c，x²是正数，前边不能是负号，y z选择负数奇次幂

如果给定正整数k与h, 在k进制下长度为h的正整数(字符串)之间定义这样一种二元运算⊕: 以a=112, b=896为例,它们都是十进制下的三位数(k=10,h=3) …112112112+…896896896 = …009009008, 则a⊕b=009=9 如果a, b在k进制的位数超过h, 就分别用a, b最右边的h位数字组成的正整数来代替a, b 这种⊕运算具有交换律, 但并不总具有结合律, 所以多个数之间运算顺序会影响结果 如果把n⊕n⊕…⊕n的结果记作t○n, 其中一共有t个n, 每一步都是从左到右进行⊕运算, 可不可以证明 (1)对每

分解为（x³+g）（x³－g）=z³ 若x³+g=a³ x³－g=b³ a³+b³=2x³ 若a=c+1 b=－c+1 a³+b³=2*（3c²+1） 只要3c²+1是立方数就行 d³－1=3c² d=3e+1 （3e+1）³－1=9e（3e²+3e+1）=3*（9e³+9e²+3e） 9e³+9e²+3e是平方数 e=3f （9e³+9e²+3e）/9=27f³+9f²+f 27f³+9f²+f是平方数，有没有整数解？

假设f(n)=σ(n)-n,即n的真因子和，如果n是完全数，那么f(n)=n. 以某个正整数n开始，如果f(n)=n或者f(n)=1,就停止，否则继续迭代下去。 那么，是否对任意n，迭代的结果都是1或者一个完全数？ 第一个迭代比较长的数是138： 138, 150, 222, 234, 312, 528, 960, 2088,3762, 5598, 6570, 10746,13254, 13830, 19434, 20886, 21606, 25098, 26742, 26754,40446, 63234, 77406, 110754, 171486, 253458, 295740, 647748, 1077612, 1467588, 1956812,2109796, 1889486, 953914, 668966, 353578, 176792, 254128, 308832, 502104,753216, 1240176, 2422288, 2697920, 3

如果把一个正整数n分解成n=(a₁^k₁)*(a₂^k₂)*…*(a_m^k_m), 其中m是正整数, 对1≤i≤m, 每个a_i ≥2, k_i ≥1, 它们都是正整数 那由(a₁,k₁),(a₂,k₂) …,(a_m,k_m)这m个正整数对组成的集合A就是n的一种伪分解(quasi-prime factorization) a₁, a₂, …, a_m是这个伪分解A的伪素因子(quasi-prime factors) m是这个伪分解A所含的不同伪素因子数 (但是并不要求a₁, a₂, …, a_m两两互不相等) σ_A(n)=(1+a₁+a₁²+…+a₁^k₁)(1+a₂+a₂²+…+a₂^k₂)…(1+a_m+a_m²+…+a_m^k_m) 是这种伪分解A下, n的

一道同余数论题求教

如果α在有限域F中不为平方数，求证其在F的奇数维扩域中是平方数。在F的偶数维扩域中是平方数。（个人想法是，设[lbk]K:F[rbk]=m,|F|=q,所以α在K中是平方数当且仅当α^（（q^m-1）/2）=1反之=-1，能否证明α^（（q^m-1）/2）=（-1）^m

对给定的正整数m>1, 使得σ(n)≤m+1的最大正整数n = 不超过m的最大素数 ?

各位吧友，大家好。我想咨询一下大家，高中生有必要学基本数论吗，新高考改革，去年九省联考。最后一道压轴题考了数论，我买了北京大学出版社第五版的基本数论。有必要学完吗

p=p1×10∧n+p3,这个式子对吗？ p1表示第一个素数，p3表示第三个素数。

给定正整数m, 设正整数n分解成不超过m的两个正整数i, j之积的方式有p₂(n,m)种(交换i, j的顺序算同一种分解方式) 对所有n, p₂(n,m)的最大值设为f(m) (1)可不可以证明对每个整数0≤k≤f(m), 都存在正整数n使得p(n,m)=k (2)猜测: 当m→+∞时, lim f(m)/sqrt(m) = 0, 但lim logf(m)/logm = 1/2

设k是大于1的正整数, m是正整数, k个正整数a₁~a_k满足1<a₁≤a₂≤…≤a_k, 并且满足方程 a₁*a₂*…*a_k = 1+ m*(a₁-1)(a₂-1)…(a_k-1) k给定时这个方程只有有限多组解，如果k已知，可不可以估计a₁*a₂*…*a_k的上界？

@蔸蔸白 @printf @artintin 问题5有想法吗

对正整数n, 如果设t(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数 (n>1时等于欧拉函数) , c(n)表示不超过n且与n不互素的正整数的个数, 则t(1)=c(1)=0, n≥2时t(n)+c(n)=n, 另外再定义t(0)=c(0)=0 对正整数m, f(m)与g(m)分别表示以下的级数和: f(m)= m+t(m)+t(t(m))+… g(m)= m+c(m)+c(c(m))+… (由于t和c经过足够多次迭代之后结果都是0, 所以f(m)和g(m)都是有限的) 由于当n=2^k(k≥1)时, t(n)=c(n)=2^(k-1) 所以当m=2^k(k≥0)时f(m)=g(m), 说明f(m)=g(m)这个方程有无穷多个正整数解 特别的是计算机找到了f(3549

数列的压轴题没有思路 想提高这方面的能力，有什么推荐书籍么

今天看《Problems from the Book》时，看到了这个定理，感觉很有意思 T.Nagell研究了将Schur定理应用于多项式族的结果

任意给定正整数k≤m, 求证:存在正整数n, 使得n恰有k个不超过m的因数

目前只找到（p，q）=（107，7）

对任意给定的ε>0，都存在连续6个正整数n，使得存在正整数a, b满足n=ab且1≤b/a<1+ε