比方说，我们首先把常见的实变函数推广至复数域上，1）多项式函数:f(x)=a0*x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……+an只需把实变数x换成复数z(德语zahl）即可，这时函数表成w=f(z)。这是一个全平面解析函数，“解析”的概念我们稍后介绍。
2）复指数函数，特别是w=e^z：
我们知道，在实变函数的级数理论中，我们有：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……，
我们把实变数x换成复变数z，就得到复指数函数：
e^z=1+z+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+……，这也是一个全平面解析函数。
3）三角函数：我们有熟知的Euler公式:e^ix=cosx+isinx，e^(-ix)=cosx-isinx，
这样从上面两个式子中就可以解出cosx,sinx,
再把实变数x换成复变数z，就得到取复值的三角函数：
cosz=(e^iz+e^(-iz))/2，sinz=(e^iz-e^(-iz))/2，
它再也不同于取实变数的三角函数，它是无界的！
我们后面也将看到，三角函数也是解析函数。