若人们不相信数学简单，只因为他们未意识到生命之复杂。（John von Neumann）
1.经典Riemann（黎曼）积分的局限性。在数学分析中，我们知道，Riemann积分通常只考虑在一个区间上的连续函数（或者至多有可数个间断点）。并且，积分的收敛性质对于函数（列）要求苛刻，比方说，我们有一列函数{fn}点点收敛f，则未必有fn的积分收敛于f的积分，进一步地，我们要求这个函数列有更加强的收敛性：一致收敛，这是一个极强的收敛性质，一般函数列极难满足。这就大大地限制了Riemann积分的应用范围。
为了适应日益扩大的需求，法国数学家Henri Lebesgue在20世纪初提出了新的积分理论（Lebesgue积分理论），它完全不要求函数定义在（连续）区间上，并且对这种函数的积分对函数本身的要求也极为宽松。
下面就是Lebesgue积分的定义：