一、梯度▽F。
F一定是一个标量函数，因为只有标量才有梯度，比如-温度、压强、电势等等。
例1：假设有一个标量场函数F（xyz）=3x^2+xy+4xz，求点P（1，2，3）的梯度。
解：▽F=i∂F/∂x+j∂F/∂y+k∂F/∂z=i（6x+y+4z）+j（0+x+0）+k（0+0+4x）。
把P（1，2，3）代入得：▽F｜（123）=20i+j+4k。

二、散度▽*F↑。
F↑一定是一个矢量函数，因为只有矢量才有散度。散度大于0叫有源场，散度等于0叫无源场，散度小于0叫汇（源）。
例子我是乱举的，如果举的不好，莫怪。
例2：假设有一个矢量场函数F↑（xyz）=（3x^2）i+（xy）j+（4xz）k，求点P（1，2，3）的散度。
解：▽*F↑=（i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z）*（（3x^2）i+（xy）j+（4xz）k）=6x+x+4x=11x。
把P（1，2，3）代入得：▽*F↑｜（123）=11。
当然，求散度一般不会指定某个点而是圈一个闭合环或面，然后求积分，旋度也一样。

三、旋度▽×F↑。
旋度就不多说了，继续用这个例子。
例3：假设有一个矢量场函数F↑（xyz）=（3x^2）i+（xy）j+（4xz）k，求点P（1，2，3）的旋度。
叉乘×有点麻烦，我就写详细点，理解1楼的叉乘公式就行。
解：▽×F↑=（i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z）×（（3x^2）i+（xy）j+（4xz）k）
=（ij）（∂（xy）/∂x）+（ik）（∂（4xz）/∂x）+（ji）（∂（3x^2）/∂y）+（jk）（∂（4xz）/∂y）+（ki）（∂（3x^2）/∂z）+（kj）（∂（xy）/∂z）
=ky-j4z-k0+i0+j0-i0
=0i-4zj+yk
把P（1，2，3）代入得：▽×F↑｜（123）=-12j+2k。