0.两个外切三角形六顶点共二次曲线
1.两个自配极三角形六顶点共二次曲线
2.两个自共轭三角形六顶点共二次曲线
3.笛沙格对合定理对偶形式
4.Brianchon定理
5.四边形F₁IF₂J外切于二次曲线
(1)求证:抛物线外切三角形的三个顶点与焦点共圆
证明:设直线BC,CA,AB是抛物线切线，记焦点为F，则△ABC,△FIJ均为抛物线外切三角形,故ABCFIJ共二次曲线,即ABCF共圆
(2)求证:等轴双曲线自配极三角形的三个顶点与中心共圆
证明:设△ABC是自配极三角形,中心为O,则△ABC,△OIJ均为等轴双曲线自配极三角形,故ABCOIJ共二次曲线,即ABCO共圆
(3)求证:正交截线存在性
证明:设P是△ABC平面上一点,作XP⊥AP交BC于X,类似作出Y,连接XY交AB于Z.由Desargues对合定理，(PA,PX),(PB,PY),(PC,PZ)属于同一对合.由于前两组互逆对互相垂直,故这个对合是一个交换点P处直线及其垂线的非恒等射影对合变换,P从而C⊥PZ
(4)求证:完全四边形ABCDEF对角线AD,BE,CF中点XYZ共线
证明:取XY连线上的无穷远点G,则(GA,GD),(GB,GE)是由关于直线XY对称所决定的对合变换,由笛沙格对合定理知(GC,GF)也属于这个对合,即GC,GF关于XY对称,可知XYZ共线
(5)求证:抛物线外切三角形的垂心在准线上
证明:设直线a,b,c是抛物线切线,d,e,f是分别垂直于a,b,c的抛物线的切线,记无穷远线为l,考虑六边形abcfld,使用Brianchon定理,注意到ad,cf交点连线即准线,前两组ab,fl;bc,ld交点连线交于三角形垂心,故垂心在准线上
(6)求证:二次曲线的光学性质
证明:①椭圆、双曲线
设二次曲线上一点P,P处切线为p，由Desargues对合定理，留作习题