如果是任意曲线，那几乎不可能严格说出理由。
直线的话还是不难的

顶一下

没人来吗...没人来我明天就考虑悬赏了

有意思，我想想

用变分法似乎可以，但我还不太会

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这里是一个类似的问题，解答可以借鉴

从对称性来看，存在最短的曲线满足条件，那么关于斜边中垂线对称的曲线也一定满足条件。这么来看的话，围绕a点补充四个等腰直接三角形组成大的正方形，平分面积等价于正方形内部取一个曲线所围面积最小且等于大正方形的一半为定值，固定面积最小边长即为圆。答案为四分之一圆弧。围绕b、c两点得到的结果一样的。

曲线？两点之间，线段最短，能平分面积的应该是线段最短吧？曲线怎么做？

想简单点，在内部画一个封闭曲线，圈一个区域，那么这个区域面积一定为三角形一半是个定值，面积一定周长最小，那一定是圆。

有毒吧，曲线怎么做？
直线还差不多

应该得用变分法解决感觉答案可能是8L的圆弧，但证明起来挺麻烦的。还是变分法吧。

直线是曲线的特殊形式
所以，直接做斜边的高

直线是特殊的曲线 话就说这么多

9L的思路，觉得不错
1.当曲线两点落在斜边和直角边时
如图将三角形复制八块
则题目变为 红线区域面积固定为半个正方形 周长最小时红线区域是以c为圆心的圆
2.当曲线两端点分别落在两直角边时
同理将三角形复制四份，同理得最小周长时是以直角顶点为圆心的圆
3.4 曲线端点落在同一条边...同理