本贴将分享我这大半年来学习到的一些有关场的知识.主要涉及经典的电磁场理论和一些很粗浅的场量子化内容.希望对大家的学习有所帮助.更贴时间呢,基本上每天都会小更一点,由于疫情的影响,我应该还有很久才能回校.所以也算是我空闲时间的一个对自我学习内容的小总结.写的不好的地方,多多见谅.

对于经典场的研究来自于Maxwell电磁场理论的研究,那么Maxwell电磁场理论的核心在于Maxwell方程组

其中的j是电流密度,而希腊字母ρ则代表的是电荷密度.
为了简化运算和对物理现象的描述,我们可以引入四维规范势

其中的第0分量是电势,而剩余第123个分量则是磁矢势的3个分量.
电场和磁场如果用势来表述的话,可以写成

需要注意的是在物理里面,类似的这种上指标通常称为逆变矢量,
还有对应的一个是所谓的协变矢量.二者之间的转换关系为:

其中的那个η是闵可夫斯基度规矩阵

把势形式中表述用张量展开我们可以得到:

其中的各个符号的意思是:
1.列维-奇塔诺张量

逆变微分算子和协变微分算子:


这里约定小写字母ijk的取值是:1,2,3而所有希腊字母的取值是:0，1，2，3

进一步地,我们可以用符号变换的恒等式来将其化为更对称的形式:


也就是:

括号内的部分我们称为规范势A的场强张量:

另一方面,电场强度也可以用场强分量的形式来写:

这启示我们可以用一个4维的反对称张量,来把电场和磁场一起统一的表达出来:

这就是4维规范势的场强张量表达式,它的每个分量都满足上一楼最后一张图片的表达式.
该场强张量对应的升指标表达式为:

这二者的关系可以简单的利用度规来表示:

(本楼层中a,b的取值是:0,1,2,3)

引入场强张量之后,Maxwell方程组的表达式可以得到大大的化简.
首先引入四维的电流密度:
其第0分量是电荷密度,而剩余123个分量分别是电流密度j的123个分量.
那么2楼中的第一个方程可以写成:

同理可得对于二楼的最后一个方程我们可以写成:
那么这两个方程可以合并写成:

对于Maxwell方程组中的另外两个方程,我们有:
也就是:
将前面的三维列维-奇塔诺张量推广到四维,我们有:
那么继续化简,得到:

实际上,熟悉张量恒等式的话,这个方程是自动成立的.因为前面的4维列维-奇塔诺张量关于ij反对称,而后面的场强张量是关于ij反对称的.所以二者缩并必然等于0.
再看另一个方程,有:

也就是:

为了凑出第一项的1/2,利用恒等式:
提出1/2,我们得到:

可以看到这个式子已经穷尽了所有F的分量了,所以可以统一的写成:

这个同之前的情况下是完全一致的.
定义对偶的场强张量:

于是这Maxwell方程最后两个可以写成:

这里的对偶场强张量实际上就是外微分形式中,Hodge star算子对于F的作用结果

将Maxwell方程组用张量的形式表示出来可以简洁优美的表现出电磁场各自的性质以及和规范势的联系.但是要进一步对其"场"的性质进行研究需要用到更多的内容.我们先抛开对于电磁场的叙述,而转向对于一般性的"场'，物理上是怎样研究的.参照于经典力学的描述:
任何力学系统存在一个可以描述系统性质的关于时间的函数称为拉格朗日量:
,其中的q(t)和q(t)关于时间的导数分别称为广义坐标.
而真实的物理过程必定使得作用量(这是一个泛函):取得极值.由此可以推导出经典力学中拉氏量满足的方程:欧拉-拉格朗日方程:
在我们描述场的时候,对象从经典力学中有限自由度的n个质点变成了时空上的无穷自由度的连续函数.在这种情况下场的拉氏量将不在简单(经典力学中的拉氏量是很简单的,满足L=T-V,T是系统动能,V是系统势能)通常情况下,一个场的拉氏量为:

积分号内的部分称为场的拉氏密度,它是场函数和场函数微分的函数.
相应的场的作用量和场的欧拉-拉格朗日方程分别是:

引入场的拉氏量以及其欧拉-拉格朗日方程并不是没有原因.在拉格朗日形式的表述下,我们就可以利用20世纪最伟大的定理之一:诺特定理对场的守恒量(能量,动量,角动量以及后面将要说的洛伦兹变换下的守恒量)进行分析和构造.同样的,参照于经典力学中,当广义坐标受到了一个微小的变动:，系统的的变化为:
由于这是个非常微小的变动,因而真实的物理过程应当不受到影响.因而在该变换下作用量的改变量应当是保持不变的:

那么什么时候,作用量的改变量是0呢？给系统拉格朗日量加上一个关于时间的全导数的时候:

因为这个时候,我们有:
后面那项分布积分是0的原因是,物理上对于扰动的要求都是指固定边界以后在一个范围内变化.其边界条件必须有扰动项关于给定时间边界为0.
综上所述,我们就会发现有:

利用本楼层第二张图的定义,并将其展开成泰勒级数,精确到一阶项,有:

带入拉格朗日方程得到:
化简就得到:
另括号内的部分为J,那么我们就得到了一个守恒的物理量:

对于非相对论性的自由例子,其拉格朗日量为:
该拉氏量在空间平移变化下保持不变:
该情况下的守恒量即是动量.即空间平移变换不变导致动量守恒:

如果考虑时间平移变换,我们有:

这种情况下的守恒量称为能量:

即时间平移变化不变导致能量守恒.特殊地,当非相对论性自由粒子在受到势地作用时:其总能量就是动能加势能:
除了上面两个守恒量之外,非相对论自由粒子在旋转变化下也保持不变:
此时的守恒量就是角动量:
即旋转变化下保持不变导致角动量守恒.