设R是一个定义了加法和乘法的代数结构，而且满足环的定义中除了加法交换律以外的所有条件（即有加法的结合律、幺元律、逆元律，乘法的结合律以及乘法对加法的左右分配律）并且R中的乘法无零因子。证明R是一个无零因子环。
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把三楼的回答整理一下，首先由于无零因子，所以这个代数结构满足对乘法的消去律，于是任取m(非零)，x，y属于这个代数结构，那么由分配律：
mx+my+mx+my=m(x+y)+m(x+y)=(m+m)(x+y)=(m+m)x+(m+m)y=mx+mx+my+my
于是mx+my＝my+mx(用到了加法的消去律)从而m(x+y)=m(y+x)，消去m就证明了加法的交换律
mx+my+mx+my=m(x+y)+m(x+y)=(m+m)(x+y)=(m+m)x+(m+m)y=mx+mx+my+my
于是mx+my＝my+mx(用到了加法的消去律)从而m(x+y)=m(y+x)，消去m就证明了加法的交换律
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