1，一道具有对称性的排列组合题：
有足量多的大小形状相同的珠子，有三种不同的颜色。现用其串成一串九颗珠的手链，要求相邻两颗珠的颜色不相同。问：一共有多少种串手链的方法。
当然用什么波利亚计数定理，burnside引理可以做出来……

2、正余弦，正余切形式的数列：
(1)已知a[n+1]=a[n]^3-a[n],a[1]=3/2
求a[n]
(2)已知a[n+1]=2a[n]/(a[n]^2+1),a[1]=3。求a[n]。
等等一系列的数列长着(双曲)三角函数多倍角公式的数列都可以换成对应的三角函数形式……（有点拗口）
比如说(双曲)余弦的两倍角公式：
[2cosh(2x)]=[2cosh(x)]^2-2
那么对于形如a[n+1]=a[n]^2-2
那就可以设为a[n]=2cosh(2b[n])
又因为2coshx=e^x+e^(-x)
也可以直接设a[n]=b[n]+1/b[n]
其它的……不写了

以后遇到有趣的题，肯能会在这里更新吧，挖个坑

4、想起一道江苏的题，感觉出得挺妙的。
f_0(x)=sinx/x,f_(n+1)(x)=(f_n(x))'
证明|nf_(n-1)(π/4)+π/4 f_n(π/4)|=sqrt(2)/2。
貌似是14年的题目

发一下自己的答案
第一题
答案是29
如果不考虑对称情况，用递推可以算到是510。
再用burnside引理可以得到考虑对称的情况的总数为
29=(1*510+6*0+2*3!+9*0)
唔，怎么粗略地解释burnside引理呢？
我们来看看手链的构造，每旋转2π/9，手链的款式不会发生改变；把手链翻过来，手链的款式不会发生改变。由此我们得到了18种对手链的对称变换（对称群G同构于D2 9）。
现在，我们有510种串手链的方法（不管对称）。我们对其中一种情况x来讨论：对x旋转2π/9得到下一种情况或对x翻过来得到下一种情况。我们把所有的对称变换作用于x上，得到的所有情况的集合记为Gx（称为轨道），我们可以将这个集合里面的元素都当作同一个情况去看待。而我们接下来要做的就是要求这510种情况的轨道数……
接下来就是得你们去查查资料了。

第二题
(1)双曲正弦三倍角：
2sinh3x=(2sinhx)^3-2sinhx
那么可以设a[n]=b[n]-1/b[n]
(2)双曲正切二倍角
tanh2x=2tanhx/(tanh^2 x+1)
那么可以设a[n]=(b[n]^2-1)/(b[n]^2+1)
大概是这样子

下午还有一题也是拿三角函数来开刀的

第三题
设u=sqrt(x+y),v=sqrt(x-y)
原方称可改写为
u^2+v^2+uv=1
这是一部分椭圆
那么求x于y的范围就相当于求
x=(u^2+v^2)/2
y=(u^2-v^2)/2
的范围
从几何意义就可以容易得到答案

4，一道自己出的水题
r是方程x^23333=1的根中实部最小的一根
设a[1]=2Re r且a[n+1]=a[n]^3-3a[n]
证明a[n]是周期数列
说实话 三角函数+数列的题还是挺好出的

7、三楼楼中楼里的也是一道好题
新开一层来放这题
a[n+2]+a[n-1]=a[n]a[n+1]
a[0]=0,a[1]=a[2]=a,求a[n]

十一题，还是一道数列题。
a[1]=a,S[n]为{a[n]}的前n项和。满足a[n+1]^2=a[n]^2+a[n]•S[n]+S[n]^2。求a[n],S[n]

十二、一道数论题。
已知正整数a,b，满足(ab+1)|(a^2+b^2)。证明(a^2+b^2)/(ab+1)为完全平方数

考完竞赛了，做的都是高考难度的题，有点水了。
十三、a[1]=p,a[2]=q
(a[n+1]^2+a[n]^2)(a[n]^2+a[n-1]^2)=(a[n+1]a[n]+a[n]a[n-1])^2
求a[n]
这题我觉得放在高考里是一道不错的题，对柯西不熟悉的学生会在这题花不少时间（在这题里还可以写多几项增加复杂度……）
我们还可以把均值不等式作为出题的载体。