题在哪里？

如果p^a+p^b=m^n，p是素数, a, b是自然数, m, n是正整数且n≥2
假设b≥a，b-a=c，则(1+p^c)*p^a =m^n
由于p^a和1+p^c 是互素正整数，由算术基本定理可知1+p^c和p^a都是n次方幂，设1+p^c = l^n，l为大于1的正整数
(1) c=0
此时p^c=1, l^n=2，只可能n=1且l=2，不合题意
(2) c≥1, p为奇素数, l≥3
由于l^n -1 = p^c，而且 l-1 是 l^n-1 的因数，所以l-1 也是p的幂次
l-1≥2，所以l-1是p的正整数次幂，被p整除
由LTE引理 c = v_p(p^c) = v_p(l^n-1) = v_p(l-1)+v_p(n) = v_p[n(l-1)]
所以 n(l-1)≥p^c = l^n-1，n≥(l^n-1)/(l-1)
n＞1时(l^n-1)/(l-1)＞l^(n-1)，所以n＞l^(n-1)≥3^(n-1)
而n＞1时n≤2^(n-1)<3^(n-1)，所以此时无解
(3) c≥1, p为奇素数, l=2
则 2^n =1+p^c
c为正偶数时 2^n= 1+p^c≡2(mod 4)，只可能n=1，不合要求
c为正奇数时由LTE引理， n = v₂(2^n) = v₂(1+p^c) = v₂(1+p)，所以1+p≥2^n = 1+p^c，只可能c = 1
此时p是梅森素数，n一定是素数，而由于p^a 是n次方数，所以a一定是n的倍数
(4) c≥1, p=2, n是奇数
由1+2^c = l^n 可知 l一定是奇数
由LTE引理 c=v₂(2^c)= v₂(l^n-1) = v₂(l-1)
所以 l-1≥2^c = l^n-1，由于l＞1，所以只可能n=1，不合要求
(5) c≥1, p=2, n是偶数
设n=2s, 由LTE引理 c=v₂(2^c)= v₂(l^n-1) = v₂(l-1)+v₂(l+1)+v₂(s) = v₂(s(l²-1))
则 s(l²-1)≥2^c = l²^s-1，s≥(l²^s-1)/(l²-1)
若s＞1，则(l²^s-1)/(l²-1)＞l²^(s-1)，所以s＞l²^(s-1)≥4^(s-1)
而s＞1时s≤2^(s-1)<4^(s-1)，此时无解
若s = 1，则2^c = l²-1 = (l-1)(l+1)
l是大于1的奇数，所以2^(c-2)= (l-1)/2 * (l+1)/2，其中(l-1)/2和(l+1)/2 是相差为1的正整数，一定有一个是奇数，只可能是1
则只可能 (l-1)/2=1, l=3，c=3, n=2
此时p^a = 2^a 是完全平方数, a是2的倍数
综上所述, a≤b时只有(3)(5)有解，(p, a, b) = (2^n-1, kn, kn+1) 或者 (2, 2k, 2k+3)
其中n是素数且满足2^n-1为素数，k是任意非负整数
当a≥b时对称的解是 (p, a, b) = (2^n-1, kn+1, kn) 或者 (2, 2k+3, 2k)

我的做法，做成了一个结论题

做的太繁了，成🤡了
https://tieba.baidu.com/p/9113845653?fid=4478&pid=150701076557#150701076557