争取每天搞一个题（不保证原创），质量和难度没法保证，可能也会重复性高，有时实在没活了可能断更，如果有人愿意支持下就太好了，如果有错误恳请指正
求所有的正整数k，使得对任意正整数n＞100，20^n＋23^2n是k的倍数
（防剧透）
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k=1显然可以，下证k＞1都不行。
k丨20^n＋23^2n，推出k丨23*23*20^n＋23^（2n+2），同时k丨20^（n+1）+23^（2n+2），两式相减得k丨509*20^n，509是素数，所以k=509^a1*2^a2*5^a3，但a2和a3只能是0，因为20^n＋23^2n不是2和5的倍数，k=509时，取n=508，由欧拉公式，20^508＋23^1016≡2（mod 509），矛盾。所以k只能是1
求所有的正整数k，使得对任意正整数n＞100，20^n＋23^2n是k的倍数
（防剧透）
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k=1显然可以，下证k＞1都不行。
k丨20^n＋23^2n，推出k丨23*23*20^n＋23^（2n+2），同时k丨20^（n+1）+23^（2n+2），两式相减得k丨509*20^n，509是素数，所以k=509^a1*2^a2*5^a3，但a2和a3只能是0，因为20^n＋23^2n不是2和5的倍数，k=509时，取n=508，由欧拉公式，20^508＋23^1016≡2（mod 509），矛盾。所以k只能是1
