Proofs from the construction of the real numbers
* Dedekind cuts
* Cauchy sequences
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数学里这两个是相等的。不相等的要么没学过数学分析（本科以下，或者非数学专业都没完整地学过实数理论），或者学过但学得不是很好。剩下的就是民科在那儿自己发明一些很不严谨，漏洞百出的东西，随便瞎搞一下子然后得到不相等。
另外说一下，很多说非标准分析里不相等的都是知道有这个词在那儿乱说的。非标准分析里有无穷小，但是无穷小是在实数轴外边的。换言之两个实数相减是不可以等于无穷小的。超实数分布在实数轴的外边，实数加上无穷小变成了实数轴外的超实数。在非标准分析力，超实数不会表示成0.99....这样的形式。
另外不管数学家还是物理学家，都不会有人无聊到研究这个。说这是什么什么理论的最新成果，要么就是野鸡理论，自己乱发明的。要么就是对这个理论有误解，比如像非标准。
另外非标准也不是什么新的东西。因为这个理论不怎么好，用处很小，所以数学界几乎没什么人研究。为什么不好呢？因为如果不考虑超实数，就是我们现在的实数理论，几百年前大家早就懂的东西。如果考虑超实数，那整个集合就很差，没有度量，距离，内积，不完备，加减乘除也要重新定义，也不是数域，连群都不是。几乎所有好的东西都没了，而且也和我们现实生活非常不匹配。在几何上几乎完全说不通，应用很窄。
而且如果采用了不同的公理，那就没有讨论必要了

@司马骧苴
数学吧讨论此问题可能更合适？

通常，不将无穷大视为实数，也没有定义算术运算（例如除以无穷大）。
实际上，当n =∞时，要使1/n甚至具有一个值，我们必须将其定义为等于其极限。
所以， 当n趋于无穷大时（1 / n）的极限为零。
This is the same reason that 0.999...=1。

@司马骧苴
见：Quora 网： ”The limit of (1/n), as n goes to infinity is zero, but (1/n) is not equal to zero when n goes to infinity, where is the fallacy or the philosophy?“

1/3=0.3333...
3*1/3=3*0.3333...
1=0.9999...

数学其实是根据需要然后定义概念的一门学问，例如分数，比如说1/3，是将一些物体分成三份每份所占的比例，6个苹果的1/3是2个苹果，那么4个呢，4/3，但是现实中你永远无法恰如其分的将多余的那个苹果三等分，所以问题是0.999...和1到底相不相等完全看需要然后定义，你可以说不相等，因为确实差了那永远无法到达的0.00...1，也可以说相等，因为那个1你无法找到在哪，0.999...和1之间也插不进任意一个数字，目前的主流定义是相等的，事实上讨论这东西根本毫无用处也毫无意义，无论是对数学还是对人类都没有任何实质性的用处。

定义不足近似与过剩近似，则实数x<y的充分必要条件可由其表出。用反证法就可以证得这两个数相等。

這種日經 月經非常簡單
當你在數學中將分數與循環小數互相關連時 其實你想要的答案早已出來了

刚看到吧里的贴子也讨论这个问题 : https://tieba.baidu.com/p/6923887259?pn=1
这是一个老问题， 见维基百科。有很多种证明方法