摘要:本文在引入次分类的定义之后,解决了表不小于6的偶数为两个素数之和的个数问题.
关键词: 次分类; 整数的次分类; 完全剩余系.
本文在引入次分类的定义之后,运用一一对应的思想解决了表不小于6的偶数为两个素数之和的个数问题.
定义1.设是第个素数,是模的非负的最小的完全剩余系,是中的任一类剩余,则叫做一个次分类.
中有下列类剩余:,从它们中任取一类的方法有种.故从中任取一类剩余依次排列起来可得到个不同的排列,故全体次分类有个.例如,全体1次分类有个,即2个,它们是:(0),(1);全体2次分类有个,即6个,它们是:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2);全体3次分类有个,即30个,它们是: (0,0,0),(0,0,1),(0,0,2),(0,0,3),(0,0,4),(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2),(0,1,3),(0,1,4),(0,2,0),(0,2,1), (0,2,2),(0,2,3),(0,2,4),(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2),(1,0,3),(1,0,4),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,1,4),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,2,4).
定义2.设是第个素数,是整数,是在模的非负的最小的完全剩余系中所属的一类剩余,则叫做的次分类.的次分类用表示.
由定义2可知,0的1次分类是0(0),0的2次分类是0(0,0),0的3次分类是0(0,0,0),5的3次分类是5(1,2,0),13的4次分类是13(1,1,3,6),－2的4次分类是－2(0,1,3,5),223的4次分类是223(1,1,3,6).
命题1.设是第个素数,是给定的自然数, , 是全体次分类的集合,则与构成一一对应.
证明:内有个连续自然数,内有个次分类.
若的非负的最小的完全剩余系中一类剩余,因而对应着内唯一的一个次分类.反过来,若,则是个同余方程的解. 因为内有连续的个自然数,它们是模的完全剩余系,故是个同余方程在内的唯一解,即对应着内唯一的一个数.故与构成一一对应.
由命题1知,任意连续的个自然数与全体次分类构成一一对应.
设是第个素数,是整数.众所周知,个同余方程 一定有一个公解,而且这个公解是以为模的一类剩余.由此联想到下面定义3.
定义3.设是第个素数,和是整数.若是个同余方程 的解,则称与是完全相同的次分类;若至少不是个同余方程中一个的解,则称与是不同的次分类;若丰,则称与是完全不同的次分类.
命题2.设是第个素数,,和是整数,则是完全相同的次分类.
证明:因为是个同余方程的解,故亦是个同余方程的解.由定义3知，是完全相同的次分类.
命题3.若与是完全不同的次分类，则和皆与0是完全不同的次分类.
证明:因为丰,即丰.故丰, 丰.由定义3知和皆与0是完全不同的次分类.
命题4.设是第个素数,是区间内的整数.若与0是完全不同的次分类,则是大于的素数.
证明：因为1＜＜,故1＜＜.又因为丰,即没有不超过的素因子,亦即没有不超过的素因子.故是大于的素数.
命题5.设是第个素数, 是区间内的偶数,.若内的整数与0,皆是完全不同的次分类,则可表为两个皆大于的素数之和.
证明:由题设知,丰,丰.因为1＜＜.由命题4知, 是大于的素数.由命题3知,与0是完全不同的次分类.又1＜＜.再由命题4知,亦是大于的素数.故,即可表为两个皆大于的素数之和.
命题6.设是第个素数,, 是任意偶数,是给定的自然数.命
表示区间内个整数中与0, 皆是完全不同的次分类的个数,则当≥2时, ≥.
证明:设是以为模的非负的最小的完全剩余系.因为0,属于中同一剩余类0,故中有个不属于0,的剩余类.当时,0,至多属于中2个不同的剩余类,故中至少有-2个不属于0, 的剩余类.故当时,全体次分类中与0, 分别对应的次分类皆是完全不同的次分类至少有个.由命题1知,全体次分类与区间内的整数是一一对应,故≥.
命题7.设是第个素数,是区间内的偶数, .命表示内的数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,则当时,.
证明:记.把区间分成个小区间 ().记δ为区间,记为区间().命表示区间δ内的整数中与0,皆是完全
不同的次分类的个数,命表示区间内的整数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,命表示在个小区间中平均每个小区间内的整数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,即
.
因为区间δ内有组连续的个整数,由命题6知,
≥.故有
＞
=
当≥3时, ＞1, ≥1.又当≥4时,若=1时,有.故当时, ,.因而,因而,因而,即.
由命题5知,亦表示可表为两个皆大于的素数之和的个数.再由命题7知,当时,,亦即当趋向无穷大时,区间内的偶数可表为两个皆大于的素数之和的个数亦趋向无穷多.因为不小于6的偶数皆在区间内,故证明了命题7亦即证明了哥德巴赫猜想.
在命题7中,如果再设表示满足下列条件的素数的个数: 且亦为素数,显然就表示可表为两个素数之和的个数.因为表示可表为两个皆大于的素数之和的个数,故有.可以验证,对于区间内的偶数,恒有;当≥70时,恒有.例如,当≥10000时,有＞25,即不小于10000的偶数表两个素数之和的个数皆大于25.事实上,当≥10000时,可表为两个素数之和的个数要比25大得多.
关键词: 次分类; 整数的次分类; 完全剩余系.
本文在引入次分类的定义之后,运用一一对应的思想解决了表不小于6的偶数为两个素数之和的个数问题.
定义1.设是第个素数,是模的非负的最小的完全剩余系,是中的任一类剩余,则叫做一个次分类.
中有下列类剩余:,从它们中任取一类的方法有种.故从中任取一类剩余依次排列起来可得到个不同的排列,故全体次分类有个.例如,全体1次分类有个,即2个,它们是:(0),(1);全体2次分类有个,即6个,它们是:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2);全体3次分类有个,即30个,它们是: (0,0,0),(0,0,1),(0,0,2),(0,0,3),(0,0,4),(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2),(0,1,3),(0,1,4),(0,2,0),(0,2,1), (0,2,2),(0,2,3),(0,2,4),(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2),(1,0,3),(1,0,4),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,1,4),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,2,4).
定义2.设是第个素数,是整数,是在模的非负的最小的完全剩余系中所属的一类剩余,则叫做的次分类.的次分类用表示.
由定义2可知,0的1次分类是0(0),0的2次分类是0(0,0),0的3次分类是0(0,0,0),5的3次分类是5(1,2,0),13的4次分类是13(1,1,3,6),－2的4次分类是－2(0,1,3,5),223的4次分类是223(1,1,3,6).
命题1.设是第个素数,是给定的自然数, , 是全体次分类的集合,则与构成一一对应.
证明:内有个连续自然数,内有个次分类.
若的非负的最小的完全剩余系中一类剩余,因而对应着内唯一的一个次分类.反过来,若,则是个同余方程的解. 因为内有连续的个自然数,它们是模的完全剩余系,故是个同余方程在内的唯一解,即对应着内唯一的一个数.故与构成一一对应.
由命题1知,任意连续的个自然数与全体次分类构成一一对应.
设是第个素数,是整数.众所周知,个同余方程 一定有一个公解,而且这个公解是以为模的一类剩余.由此联想到下面定义3.
定义3.设是第个素数,和是整数.若是个同余方程 的解,则称与是完全相同的次分类;若至少不是个同余方程中一个的解,则称与是不同的次分类;若丰,则称与是完全不同的次分类.
命题2.设是第个素数,,和是整数,则是完全相同的次分类.
证明:因为是个同余方程的解,故亦是个同余方程的解.由定义3知，是完全相同的次分类.
命题3.若与是完全不同的次分类，则和皆与0是完全不同的次分类.
证明:因为丰,即丰.故丰, 丰.由定义3知和皆与0是完全不同的次分类.
命题4.设是第个素数,是区间内的整数.若与0是完全不同的次分类,则是大于的素数.
证明：因为1＜＜,故1＜＜.又因为丰,即没有不超过的素因子,亦即没有不超过的素因子.故是大于的素数.
命题5.设是第个素数, 是区间内的偶数,.若内的整数与0,皆是完全不同的次分类,则可表为两个皆大于的素数之和.
证明:由题设知,丰,丰.因为1＜＜.由命题4知, 是大于的素数.由命题3知,与0是完全不同的次分类.又1＜＜.再由命题4知,亦是大于的素数.故,即可表为两个皆大于的素数之和.
命题6.设是第个素数,, 是任意偶数,是给定的自然数.命
表示区间内个整数中与0, 皆是完全不同的次分类的个数,则当≥2时, ≥.
证明:设是以为模的非负的最小的完全剩余系.因为0,属于中同一剩余类0,故中有个不属于0,的剩余类.当时,0,至多属于中2个不同的剩余类,故中至少有-2个不属于0, 的剩余类.故当时,全体次分类中与0, 分别对应的次分类皆是完全不同的次分类至少有个.由命题1知,全体次分类与区间内的整数是一一对应,故≥.
命题7.设是第个素数,是区间内的偶数, .命表示内的数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,则当时,.
证明:记.把区间分成个小区间 ().记δ为区间,记为区间().命表示区间δ内的整数中与0,皆是完全
不同的次分类的个数,命表示区间内的整数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,命表示在个小区间中平均每个小区间内的整数中与0,皆是完全不同的次分类的个数,即
.
因为区间δ内有组连续的个整数,由命题6知,
≥.故有
＞
=
当≥3时, ＞1, ≥1.又当≥4时,若=1时,有.故当时, ,.因而,因而,因而,即.
由命题5知,亦表示可表为两个皆大于的素数之和的个数.再由命题7知,当时,,亦即当趋向无穷大时,区间内的偶数可表为两个皆大于的素数之和的个数亦趋向无穷多.因为不小于6的偶数皆在区间内,故证明了命题7亦即证明了哥德巴赫猜想.
在命题7中,如果再设表示满足下列条件的素数的个数: 且亦为素数,显然就表示可表为两个素数之和的个数.因为表示可表为两个皆大于的素数之和的个数,故有.可以验证,对于区间内的偶数,恒有;当≥70时,恒有.例如,当≥10000时,有＞25,即不小于10000的偶数表两个素数之和的个数皆大于25.事实上,当≥10000时,可表为两个素数之和的个数要比25大得多.
