关于泰勒公式余项的疑惑

原题和解析，求教泰勒公式怎么用

常见的就是解析这种（Lagrange余项）。
泰勒公式余项有三种，皮亚诺，拉格朗日，柯西.
第一种，后面只是加了o(x^n)，能够说明的信息不是很多。
第二种，最为常用，一般用于证明。
第三种我已经忘了
那么第二种里面，最后应为f^(n)(a+k(b-a))(x-a)^n，而ξ介于a、b之间，所以ξ可以代替括号里的内容.
如果写成f''(0)的话， 那就必须写到更高阶的Lagrange余项（如果n+1阶可导的话），或者加上皮亚诺余项.

皮亚诺形的反应信息太少 常用于结合麦克劳林展开求极限
拉格朗日形就可以用做证明题了 但有的题目拉格朗日就是证不出来 考虑柯西
据说数学系的有的还要掌握更为一般的余项 那个太复杂