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【数学知识】π的神奇计算方法。(ps:书上看到的)

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π是圆的周长和直径的比值,是一个数学常数。
在18实世纪,法国博物学家布丰注意到了投针问题:在一个平面上,画一组相距为a的平行线,随便往上扔一把长度为b(b小于a)的针自然会出现针压线和未压线的两种情况。通过实验发现:针的总数与压线的针数之比,与圆周率有关,且扔的越多,数越精确。
当然,这是有技巧的:若1若纸上的线条过密,总数A除以压线数目B接近于1;如果线条过于稀疏,A除以B,接近于无穷大。因此,一定找到一个适当的线条密度,让A除以B正好是圆周率。你所要做的就是实验。(我去,这要实验多少次啊!)
有的学者还发现圆周率的表达方式,其中有趣的是:π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13…


IP属地:广东来自Android客户端1楼2014-08-28 23:13回复
    祖冲之算的那个吧。无穷不循环小数


    来自Android客户端2楼2014-08-28 23:25
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      不过科学家想的这些个方法是巧合还是什么道理呢


      IP属地:黑龙江来自Android客户端3楼2014-08-29 10:35
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        以原点为圆心,半径为r的圆盘面积是πr²,所以内部的整点个数大致是πr².
        考虑不定方程x²+y²≤r²的整数解,这个解的个数是4([r²]-[r²/3]+[r²/5]-[r²/7]+...)
        所以我们就能知道πr²大致等于4r²(1-1/3+1/5-1/7+...)
        两边除以r²之后就得到了π=4(1-1/3+1/5-1/7+...).
        为什么是严格等于,这是因为r可以很大,足以抵消掉误差。


        IP属地:广东来自Android客户端4楼2014-08-30 08:23
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          这个算法太神奇了,除了楼上说的不定方程整数解个数的公式没学过,其他的原理总算弄懂了,大赞!!!


          IP属地:上海5楼2014-08-31 13:32
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            这是数学分析的基本内容,同理可以求得自然对数的底数e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……
            阶乘运算递推公式为n!=n*(n-1)!并定义0!=1,即n!=1×2×3×……×n
            这样就能看出,e的收敛速度是很快的(因为阶乘增长得非常快),但是圆周率的收敛速度就相当慢了。其实π/4=arctan(1)=1-1/3+1/5-1/7+...,楼主说的其实也是利用反正切函数来求圆周率的。现在利用计算机计算圆周率的时候,为了加快收敛速度,往往使用小数值的反正切函数,比如
            π=16×arctan(1/5)-4*arctan(1/239)


            IP属地:上海6楼2016-03-12 22:38
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