花曦心
我们说函数f(x)“积不出”是指不定积分∫f(x)dx不是初等函数，即f(x)的原函数不是初等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个这样的例子，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不塌实，也容易使学生误以为积不出的函数很少，同时也可能会使学生在遇到积不出问题时，却试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间。因此，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否初等函数的法则是很有必要的， 本文将在此方面做一些探讨。
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如果对刘维尔定理中的等式变形，可以得到以下微分方程
由于R(x)是有理函数，令R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是互质多项式，可以得到
通常情况下，我们使用反证法来证明一个函数没有初等函数，而经常用来构造上式P(x)和Q(x)的时候会用到以下一个结论：
若x=a是方程Q(x)=0的一个n重零点，那么x=a是方程Q'(x)=0的一个n-1重零点，或者写成：如果Q(x)=(x-a)^nH(x)，其中H(a)≠0，那么Q'(x)=(x-a)^(n-1)H(x)
由于R(x)是有理函数，令R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是互质多项式，可以得到
通常情况下，我们使用反证法来证明一个函数没有初等函数，而经常用来构造上式P(x)和Q(x)的时候会用到以下一个结论：
若x=a是方程Q(x)=0的一个n重零点，那么x=a是方程Q'(x)=0的一个n-1重零点，或者写成：如果Q(x)=(x-a)^nH(x)，其中H(a)≠0，那么Q'(x)=(x-a)^(n-1)H(x)
常见不存在初等原函数的不定积分的证明：
(1)
证明：
对应刘维尔定理中的f(x)=1,g(x)=bx^2
所以
如果Q(x)中x的次数大于或等于1，那么必然存在一个复数a使得a是Q(x)的k重根，而由于P(x)与Q(x)互质，所以P(x)≠0，从而上式左边是a的k-1重根，右边则大于或等于k重，所以导致矛盾，因此可以断定x的次数为0，令Q(x)=1得
P(x)是多项式，所以左边x的次数比右边x的次数多2，等式不可能成立，所以原来的积分不是初等函数
(1)
证明：
对应刘维尔定理中的f(x)=1,g(x)=bx^2
所以
如果Q(x)中x的次数大于或等于1，那么必然存在一个复数a使得a是Q(x)的k重根，而由于P(x)与Q(x)互质，所以P(x)≠0，从而上式左边是a的k-1重根，右边则大于或等于k重，所以导致矛盾，因此可以断定x的次数为0，令Q(x)=1得
P(x)是多项式，所以左边x的次数比右边x的次数多2，等式不可能成立，所以原来的积分不是初等函数
(2)
证明：
f(x)=1/x,g(x)=x
代入方程得
假设复数a是Q的k重根，直接看两边不能给出Q=1的结论，但是只有在x=0的时候，左边的重根次数才有可能和右边相等，所以假设Q(x)=x^k H(x)，其中H(0)≠0，代入上式可得
可以看出左边0重根数不大于1，右边则大于或等于2，所以假设不能成立，因此Q(x)=1
所以
显然对于任意多项式左边x次数大于或等于0，右边为-1，所以不成立
所以原积分无初等原函数
证明：
f(x)=1/x,g(x)=x
代入方程得
假设复数a是Q的k重根，直接看两边不能给出Q=1的结论，但是只有在x=0的时候，左边的重根次数才有可能和右边相等，所以假设Q(x)=x^k H(x)，其中H(0)≠0，代入上式可得
可以看出左边0重根数不大于1，右边则大于或等于2，所以假设不能成立，因此Q(x)=1
所以
显然对于任意多项式左边x次数大于或等于0，右边为-1，所以不成立
所以原积分无初等原函数
龙马
好贴！求楼主学历！不过楼主貌似没有给出刘维尔定理的证明。
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