首先线性近似下引力波度规g可写为闵氏度规ηab和一个小量hab之和，其满足的是线性爱因斯坦场方程，
我们期望真正的引力波度规也能写成闵氏度规ηab和一个对称二阶张量hab之和，其满足的是爱因斯坦场方程
然后利用之前我得到单色平面电磁波度规的经验，将闵氏度规写成双类光形式：ηab=-2dvdu+dx²+dy²
引力波度规g也用这个坐标系{v,u,x,y}，引力波在时空中沿v方向传播，即其四波矢为K^a=(∂/∂v)^a，
并且同样期望u也为引力波的相位，即Ka=（du）a，这个式子可以用来确定hab形式：
用gab=ηab+hab降指标，有（du）a=ka=gabK^b=（du）a+hab(∂/∂v)^b，故hab要满足hab(∂/∂v)^b=0，
而由基矢和对偶基矢的关系可知（du）a(∂/∂v)^b=0，再加上hab要对称，所以自然想到hab=f（du）a（du）b
然后就是确定ds²=fdu²-2dvdu+dx²+dy²号差为+2，这不难确定
接着就是确定f与哪些坐标有关，首先肯定不能只和u有关，这样把基矢选成归一化的以后求外微分都是0，
所以按照嘉当第一和第二方程，联络和曲率都为0，是平直时空，不可能代表引力波
于是依然按照之前单色平面电磁波度规的推导，同样期望引力波的四波矢K也得满足▽aKb=0，
从物理意义上考虑就是等相面是平面，平移后都一样，所以等相面的法矢也就应该不变了
这就说明K^a=（∂/∂v）^a是类光killing场，而我们所用坐标系{v,u,y,z}是其适配坐标系，
所以所有度规分量都应与v无关，即f应与u,y,z有关，至于为什么不是只与u,y或u，z有关，
y，z作为切于等相面的坐标，等相面是平面则出于对称性的考虑这俩显然应该无法区分
综上，我们得到了平面波度规的形式为ds²=f(u,x,y)du²-2dvdu+dx²+dy²

接下来的目标就是确定f，这里有两个重要动机：
第一个是其应该是真空场方程的解，即应有Rab=0，这很显然，我们要的是真空中传播的引力波；
第二个则更为重要，是按照线性近似的结果，引力波应为横波，
其仅给测地观者在其垂直于引力波传播方向的空间方向上的临近观者带来潮汐偏离现象，
也就是说任取一类时测地线汇的切矢Z，给定其切空间的正交子空间W上的正交归一三标架{Ei}，
其中第3基矢E3是四波矢K在W上的投影，指向引力波传播的空间方向，
横波性就要求不管Z如何，沿E3方向的潮汐力都必须为0，
即黎曼曲率张量表示潮汐力的标架分量R0i0j在i和j任意一个为3时就必须为0：
因为潮汐力a^i=R0j0iw^j,分离矢量（平行位矢）w平行引力波传播方向E3时有w1=w2=0，
此时潮汐力为0就要求R030i=0，然后由黎曼曲率张量恒等式Rabcd=Rcdab就得到i，j任何一个为3时R0i0j就必须为0

总结一下就是利用波的性质，
特别是和单色平面电磁波以及线性近似引力波的相似性确定平面引力波的度规形式，
然后任取测地参考系的标准正交基{Eμ}，
利用真空场方程Rμν=0和引力波的横波性质R0i0j=0，i或j=3确定度规分量里的未知函数f
所以最后就是用含未知量Z即任意类时测地线四速且E3满足平行K在Z的空间上的投影的正交归一标架计算曲率
先到此为止，之后哪天有时间再动笔算下

想了下直接用这个标架可能不太行，Z太任意了求外微分不好找和其他基矢的关系
可能还得绕一下，用微广上册式7-9-26的刚性标架计算出黎曼曲率张量，然后再和这个测地的标架缩并
考虑一下用其变形的类光标架计算，顺便还能熟悉一下类光标架法

处理完了，有个没想到的点是用和线性近似一致以及平面波的性质确定度规可写为ds²=-dvdu+dx²+dy²+2P(u,x,y)du²以后，
对于任意测地观者的满足E3平行引力波传播的空间方向的标准正交基{Eμ}，
黎曼曲率张量在此系的分量R0i03=0是自动成立的，和其他诸如Rab=0之类的都无关
也就是不能用横波性质来确定度规分量，其不能成为对度规分量的限制
最后得到的唯一限制就是Rab=0
这也说明了引力波（不限于线性近似）是横波的合理性，至少能写成ηab+Hab的平面引力波是这样