建系

用正弦定理解的

把AD绕着A点顺指针旋转90°到AE，连接BE
延长BE，DC交于F
可证四边形AEFD是正方形
△ABE≌△ACD
设正方形边长AE=a
tanα=1/a
tan2α=a/(a+1)
利用正切倍角关系
tan2α=2tanα/(1-tan²α) 可解得a=3
所以BC=√2AC=√2*√(3²+1²)=2√5

想出一个初中解法，不需要三角函数
过B做BE⊥AD于E，延长AE到F使得EF=AE，连接BF
可证△BEA≌△ADC（ASA）
∴AE=CD=1，AF=2AE=2,∠EBA=∠CAD
又∵BE垂直平分AF，三线合一，则BF=BA
∴∠FBA=2∠EBA=2∠CAD=∠ADB
而∠BFA=∠DFB
∴△BFA∽△DFB
∴BF/DF=AF/BF
即BF²=AF*DF
而BF=BA=AC
∴AC²=AF*DF=2*(2+AD)
而AC²=AD²+CD²
∴AD²+CD²=2*(2+AD)
AD²+1=4+2*AD
解得AD=3
∴BC=√2*AC=2√5