有难度，感觉是对的，不好证明

封闭图形的相似楼主先定义一下？

如果Ω存在一条切线则命题应该成立。原题换句话说是找Ω的一个内接三角形与已知三角形相似，可以从Ω上取那个切点记为X，Ω上另取一点记为Y，若点Z满足三角形XYZ相似于ABC且二者手性相同，则Z唯一存在；固定X，令Y取遍Ω所有点（当Y=X时取Z=X），由瓜豆原理，所有对应的Z构成一个与Ω旋转相似的图形，且旋转角等于∠BAC，把Z轨迹记为为Ω’，因为Ω是封闭图形（双连通），故去掉一点X后仍然联通（变成一条连续曲线），也就是Ω’\{X}也是一条连续曲线，而X是Ω与Ω‘的一个对应点，因此二者都在X处有切线，且切线不重合（夹角正是∠BAC），也就是说这俩曲线在X处是相交的，因此（很直观但我不大会说明）Ω’在X附近会是一部分在Ω内一部分在Ω外，两部分各取一个点，那么两点属于Ω‘\{X}，而Ω‘\{X}是一条连续曲线，又因为Ω‘\{X}在两点之间的那一段一头在Ω内一头在Ω外，则两点之间这一段曲线必有一点在Ω上，取这个点作为最终的点Z，再回去找到这个Z对应的Y，则XYZ是满足要求的三角形。
至于不存在切线的情况我还不会，我猜测可能能用分形构造出一个反例？