把每个国家看作一个点，相邻国家之间连线，可以得到一个较为好看的几何图形（①图）此时问题转化为相连点之间颜色需不同。不妨把得到的图形中的多边形化为几个三角形，注意的是两点之间最多只有一条直线相连。
我们都可以做到用一条线把所有点相连（图①的黑笔），即全为三角形的线线不相交的几何图形存在通路。选取那一条线的点作为x轴，把x轴的点复制到y轴上，再将原来相连的点连线。可以整理出图②的样子。得到只有第一和第四象限的平面直角坐标系。此时问题转化为每个等腰直角三角形的两个45度角的颜色不同，注意y轴方向的45度角的点与在x轴上的90度角的点是等效的。
先从y轴正半轴出发。像我这样画图的话，从x轴的正无穷大看起，就是从右往左看。每遇到一个等边直角三角形，先把其在x轴上的点全用①②两点标记，把x轴上原来来相连的点沿等腰直角三角形的斜边投影到y轴方向的等腰直角三角形直角边上（如图⑤）。比较y轴上的点，把其中与直角点颜色序号相同的点换为③颜色（图⑤红笔），在把换为③颜色的点投影回x轴上，那么我们就解决了这个等腰直角三角形在x轴上的“部分”点的排列。之所以是“部分”，是因为一个等腰直角三角形经常“内含”一个等腰直角三角形，或“外包”一个等腰直角三角形（如图④）。这时就要灵活转换①②③颜色，如果解决了一个等腰直角三角形，那么就以等腰直角三角形的x轴上的直角边两边的两端点重新为①②颜色去解决下一个等腰直角三角形。我们此时能够把x轴上的所有点都排列。排列为1212123121321321321231313之类的
对y轴负半轴同理，将等腰直角三角形的x轴上的直角边端点视为①②，在排列，只不过把要转换的③颜色换为④颜色。这样问题即得证 拓展:有n条垂直的线，就要2n个颜色区分。如问题为三维立体的就需要6种颜色。立体且存在像美国和阿拉斯加的“这两个空间必须一样颜色”就要8种颜色。平面且存在像美国和阿拉斯加的“这两个空间必须一样颜色”就要6种颜色
注意④图，这种情况是不会发生的