公差不为0的等差数列中的4项成等差数列，那它们下标一定也成等差数列，按每个下标除以4的余数可以给这些数列分类
假设所含下标为4m, 4n+1, 4l+2, 4k+3，每种余数各一个的这类数列有a组
所含下标分别为 4m, 4n+2, 4l, 4k+2的这类数列有b₁组
所含下标分别为 4m+1, 4n+3, 4l+1, 4k+3的这类数列有b₂组
所含下标除以4余数全都为1的这类数列有c₁组，全都为2的有c₂组，全都为3的有c₃组，全都为0的有c₄组
成等差数列的任意4项下标一定都在以上某一类中
再假设4k+1形下标对应的项去掉了m₁个，4k+2形去掉了m₂个，4k+3形去掉了m₃个，4k形去掉了m₄个，m₁+m₂+m₃+m₄=2并且都是非负整数，那每个都不超过2
这样原数列中4k+1形下标的个数 m+1 = a+2b₂+4c₁+m₁
4k+2形的个数 m+1 = a+2b₁+4c₂+m₂
4k+3形的个数 m = a+2b₂+4c₃+m₃
4k形的个数 m = a+2b₁+4c₄+m₄
第1个式子和第3个式子相减得到 1= 4(c₁-c₃)+m₁-m₃，所以m₁-m₃-1是4的整数倍，而0≤m₁+m₃≤2，只可能m₁=1, m₃=0
同理第2个式子和第3个式子相减，可以得到m₂-m₄-1是4的整数倍，所以m₂=1, m₄=0