第一、无论是A是方阵还是扁阵,无论A的秩是多少,r(A)和r(A^TA)是永远相等的
用方程组同解很容易证明,这已经是一个定理了
第二、把A^TA看做一个整体,比如等于B
把A^Tb看做一个整体,比如等于C
显然有r(B)<=r(B|C)
证明也很容易,把B和B|C当做向量组,显然向量组B包含于向量组B|C,所以r(B)<=r(B|C),这也是一个定理
再把B和B|C换回A^TA和A^TA|A^Tb
所以r(A^TA)<=r(A^TA|A^Tb)
再结合第一条可得r(A)<=r(A^TA|A^Tb)