按照欧拉定理，对任何正奇数m，2^φ(m)-1 都是m的倍数，而2^φ(m)-3 与 2^φ(m)-1互素，所以也和m互素
所以要求的无穷子数列{a[n]}的递推式可以是k≥2时a[k]= 2^φ(a[1]×a[2]×…×a[k-1])-3

根据题意，数列的元素序列为：
1, 5, 13, 29, 61, 125, 253, …, 2^n-3;
子数列的任意两项分别设为
2^n-3=ax, 2^m-3=by ; 显然
ax, by都是奇数。n-m=k>0, 即有
ax-by=(2^m)*[2^k-1] ;
k=1, ax-by=2^m, 等价于原数列的【相邻元素】两两互素，不存在大于2的公因子。
k=2, ax-by=(2^m)*3, 等价于原数列的元素序列中，存在公因子为3的【非相邻元素】。

k=2, ax-by=(2^m)*3, 等价于原数列的元素序列中，存在公因子为3的【非相邻元素】。若ax, by不存在公因子3，则ax, by至少有一个的最小素因子大于3。

从原有数列中，按照包含排斥原理，筛掉满足不定方程ax-by=(2^m)*3的解的项，剩余的项必然关于(mod6)两两互素。

依上类推，再逐步筛掉满足不定方程ax-by=(2^m)(2^k-1)的解的项，可推知剩余项仍然是无穷数列。

原数列2^n-3的每个项，都不存在素因子3，是显然的。n=4m+3的所有项(2^(4m+3)-3)，都是5的倍数，也是显然的。