以 D 为 原点， 建立 直角坐标系，

DG = BD sin 60°
BG = BD cos 60°
EG = 6 - CE - BG = 6 - 1/2 BD - BD cos 60°
E 点坐标 xe = EG, ye = - DG ， 用 坐标旋转公式 把 E 点 旋转 120° 得到 F 点 坐标 xf, yf ， 坐标旋转公式 见 《证明一下 三角和 公式》 https://tieba.baidu.com/p/7662881342 。
A 点坐标 xa, ya 也容易求出 ，
AF ² = ( xf - xa ) ² + ( yf - ya ) ²
等式右边是 BD 的 二次函数， 求 AF ² 的 极值 就是 一个 二次函数 极值问题 。
找到了 AF ² 的 极值， 也就是找到了 AF 的 极值 。
P： 当 角度 大于 90° 时， 我不知道 坐标旋转公式（和角公式） 还适不适用， 不过 计算方法 就是 上面这样了 。