考虑圆环粗度吗？要不要有个内径？

圆环质量为M，线密度ρ=2M/πR
取角元Δθ，对应的圆弧对中心的万有引力为ΔF=Gm(ρΔθR)/R²=2GmMΔθ/πR²，即2GmM/πR²这个常数乘Δθ。
水平分量为ΔFcosθ，垂直分量为ΔFsinθ
F水平=∫cosθdF=2GmM/πR²∫(从0到π/2) cosθdθ= 2GmM/πR²
F垂直=∫sinθdF=2GmM/πR²∫(从0到π/2) sinθdθ= 2GmM/πR²
所以合力是45°的2倍根号2GmM/πR²

对于你问的四分之一圆环的情况，假设内径是R1，外径是R2，圆环面密度是σ，σ=4M/π(R2²-R1²)
考虑半径等于R处的微小圆环dR，取角元dθ，对应的微小面积对中心的万有引力为dF=Gm(σ*dθ*R*dR)/R²=4GMmdθdR/πR(R2²-R1²)，即4GMm/π(R2²-R1²)这个常数乘dθ*dR/R。
水平分量为dFcosθ，垂直分量为dFsinθ
F水平=∫cosθdF=4GMm/π(R2²-R1²)∫∫(θ从0到π/2,R从R1到R2) cosθ/R dθdR=4GMm/π(R2²-R1²)*ln(R2/R1)
F垂直=∫sinθdF=4GMm/π(R2²-R1²)∫∫(θ从0到π/2,R从R1到R2) sinθ/R dθdR=4GMm/π(R2²-R1²)*ln(R2/R1)
所以合力是45°的4*根号2*GMm/π(R2²-R1²)*ln(R2/R1)