求助这个答案为什么能直接泰勒展开呢 不应该先判断是否为正项级数吗

这个我不会做，帮你问问别人把

计算了一下应该是绝对收敛，把那个式子加绝对值号，放大一下，再用比值判别法

在a=e^（-1/2）绝对收敛？

很奇怪，这个级数重新算了一下，在某个范围内是发散的。。。。在正项范围内和纯负项(取相反方面把它变为正项分析）范围内分析是发散的，理由如下。(开始的时候就是顺着你图片上收敛的思路走错方向。。）

在a=√e时，级数为非负级数，当级数一般项为零的时候此时级数收敛，当级数为正的时候收敛，故在a=√e时收敛

你这题目有点像这道题目，不同处是这道题一般项恒正

我把你这道题目重新写了一遍，比较仔细的。。在1<a<√e时候的情形，我没有去分析级数的敛散性，在其它范围都写出了。。。

楼上都做得太复杂了，这个题我用估阶等式可以直接秒这个题：因为级数通项a^(1/n)-√(1+1/n)=1+lna/n+O(1/n^2)-[1+1/(2n)+O(1/n^2)]=(lna-1/2)/n+O(1/n^2),根据比较判别法可知级数∑(n=1到+∞)O(1/n^2)是绝对收敛的，因此当lna-1/2≠0时图片里的级数是发散，当lna-1/2=0,也即a=e^(1/2)时图片里的级数是绝对收敛的,证明结束

楼主你那个a=e^(-1/2)的答案是错的，答案就是我上面写的a=e^(1/2)绝对收敛其余情况发散。我用估阶法做的，答案肯定不会出错的

第9楼图片里的题可以如下解决：s=0时通项为1/n是发散的,下面只需讨论s≠0,级数通项[e-(1+1/n)^n]^s/n
=[e-e^nln(1+1/n)]^s/n
=[e-e^n(1/n+O(1/n^2))]^s/n
=[e-e^(1+O(1/n)]^s/n
=[e-e·(1+O(1/n)+O(1/n^2))]^s/n
=[O(1/n)+O(1/n^2)]^s/n
=[O(1/n)]^s/n,当s>0时上式=O(1/n^(1+s))因此级数绝对收敛,当s<0时由于O(1/n)=e-(1+1/n)^n>0,因此存在正数L使得上式≥L^s/n^(1+s),级数发散.