第一节：微分方程的基本概念
一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称为方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶，如x³+2x²+x＝4是三阶微分方程。
一般地，n阶微分方程的形式是方程①：F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)＝0。在此方程中y⁽ⁿ⁾是必须出现的，而x，y'等变量可以不出现。
如果能从方程①中解出最高阶导数，即可得微分方程：y⁽ⁿ⁾＝f(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁻¹⁾)。也就是说，我们根据一个微分方程，能找出一个函数，将此函数带入到微分方程里能使该方程为恒等式，那么这个函数就叫该微分方程的解。换句话说，对于方程①：F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)＝0，存在y＝k(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在该区间上，F(x,k(x),k'(x),...,k⁽ⁿ⁾)≡0，注意≡是恒等于的意思，那么函数y＝k(x)就是方程①在区间I上的解。
(1)如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它并不能确切地反映某一客观事物的规律性，要把握这种规律性，必须把通解中的常数确定下来。而确定的条件如下，对于一阶微分方程，如果x＝x0时，y＝y0；对于二阶微分方程，x＝x0时y＝y0，y'＝y'0，以此类推，那么就能确定出通解中的常数。
已经确定了通解中的常数以后，就得到了微分方程的特解。
求微分方程的问题如：y'＝f(x,y)满足初值条件x＝x0、y＝y0的特解时，这就叫微分方程的初值问题。微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
几何意义：初值问题的几何意义，就是求微分方程过点(x0,y0)的那条积分曲线；二阶微分方程的几何意义，就是求微分方程通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y'0的那条积分曲线。

第二节：可分离变量的微分方程
已知一阶微分方程为y'＝f(x,y)，而有的时候一阶微分方程也会写成如下的对称形式：P(x,y)dx+Q(x,y)dy＝0，在该方程中变量x与y对称，它即可以看作是以x为自变量的方程，也可以看作是以y为自变量的方程。
面对一阶微分方程如y'＝2x或dy＝2xdx，我们将两端积分就能得到通解y＝x²+C。然而，并不是每个方程都能这样解，如dy＝2xy²dx，就不能直接对两端积分来得到通解。为了解决这个问题，我们可以把方程变形为dy/y²＝2xdx，这样再积分就可以得到：-1/y＝x²+C。
也就是说，一般而言，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy＝f(x)dx的形式，那么我们可以把方程写成一端只含有y的函数和dy，另一端只含有x的函数和dx的形式，如前面提到的dy/y²＝2xdx，那么我们把原一阶微分方程称为可分离变量的微分方程。
我们假设方程①g(y)dy＝f(x)dx，且f(x)与g(y)是连续的，设y＝k(x)是方程①的一个解，得到关系式②G(y)＝F(x)+C，其中G(y)与F(x)分别为g(y)和f(x)的原函数，其中y＝k(x)也是关系式②的解。反之，如果y＝K(x)是关系式②所确定的隐函数，那么如果g(y)≠0时，y＝K(x)也是方程①的解。
如上所述，方程①左右两端积分可得到关系式②，所以，我们可以把关系式②称为方程①的隐式解，又因为关系式②中含有常数，又可以把关系②称为方程①的隐式通解。

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第三节：齐次方程
如果一阶微分方程可以化成方程①dy/dx＝k(y/x)的形式，那么我们称这个方程为齐次方程。在求解齐次方程中，我们引入新的未知函数u＝y/x，从而得出y＝ux以及dy/dx＝u+x*du/dx，并将其带入原式，求出新方程的通解，再用y/x＝u代替式中的u，以下举个例题做参考，见图。
对于方程②dy/dx＝(ax+by+c)/(Ax+By+C)，当c＝C时方程②是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情况下，用x＝X+h，y＝Y+k代替原函数中的x、y，那么dX＝dx，dY＝dy，且原方程②可改为dY/dX＝(aX+bY+ah+bk+c)/(AX+BY+Ah+Bk+C)，其中，如果方程ah+bk+c＝0且Ah+Bk+C＝0，且a/A≠b/B，那么可以确定出h与k的值使得它们满足上述两个等于0的方程，那么方程②可以化成齐次方程③dY/dX＝(aX+bY)/(AX+BY)，求出这个齐次方程的通解以后，把x-h与y-k再代进去便可得方程②的通解。
但是如果a/A＝b/B的话，h与k的值便不能确定，这时候我们可以让a/A＝b/B＝λ，那么方程②就可写成dy/dx＝(ax+by+c)/[λ(ax+bx+c)+C]，这个时候，可以参考上一章的知识，引入新变量使v＝ax+by，就能得到一个可分离变量的方程为(dv/dx-a)/b＝(v+c)/(λv+C)。

第四节：一阶线性微分方程
(1)我们将方程①dy/dx+P(x)＝Q(x)叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知数y及其导数是一次方程。如果Q(x)≡0，那么我们称该方程为齐次的，否则为非齐次的。
我们先假设Q(x)＝0，将非齐次方程化为齐次方程②dy/dx+P(x)y＝0，我们把方程②称为对应于非齐次线性方程①的齐次线性方程，而方程②是可分离变量的，分离变量后得dy/y＝-P(x)dx，两端积分，得ln|y|＝-∫P(x)dx+C1。我们设k＝∫P(x)dx，即k为P(x)的某个确定的原函数，那么得到y＝Ce⁻ᵏ（C＝±eᶜ¹），这是对应的方程②的通解。
我们这里介绍一种常数变易法来求非齐次线性方程①的通解，该方法是把常数C换成x的未知函数u(x)，即作变换y＝ue⁻ᵏ，于是dy/dx＝u'e⁻ᵏ-uP(x)e⁻ᵏ，带入原方程①中，最后得到③u＝∫Q(x)eᵏdx+C(这里的C指的是任意常数，因为③也是由积分得到的，根据∫f(x)dx＝F(x)+C，所以该式后也有个C)，把该式带入到y＝ue⁻ᵏ，就可以得到非齐次线性方程①的通解：y＝e⁻ᵏ(∫Q(x)eᵏdx+C)，(k＝∫P(x)dx)，也可以写作y＝Ce⁻ᵏ+e⁻ᵏ∫Q(x)eᵏdx，等式右边第一项是对应的齐次线性方程②的通解，第二项是对应的C＝0时，非齐次线性方程的一个特解。
综上可知，一阶非齐次线性方程的通解，等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。图中左半部分给出一个例题以示参考。
(2)伯努利方程：方程④：dy/dx+P(x)y＝Q(x)yⁿ,(n≠0或1)叫做伯努利方程。当n＝0或1时，这是线性微分方程，但n≠0或1时，该方程是不线性的，但是可以通过变量的代换，使它变为线形的。
用yⁿ除方程④的两端，得到y⁻ⁿ*dy/dx+P(x)y¹⁻ⁿ＝Q(x)，我们引入新的变量z＝y¹⁻ⁿ，那么dz/dx+(1-n)P(x)z＝(1-n)Q(x)，求出该方程的通解后，用y¹⁻ⁿ代换z便可得到伯努利方程的通解。图中右半部分给出一个例题以示参考。

第五节；可降价的高阶微分方程
我们把二阶以及二阶以上的微分方程叫做高阶微分方程。一般对于有些高阶微分方程来说，我们通常采用代换将它化成低阶方程来求，这里给出三个比较容易降价的高阶微分方程的求解方法。
①y⁽ⁿ⁾＝f(x)型的微分方程：将其连续积分n次，便可得到含有n个任意常数的通解。
图中给出一道例题做参考。
②y''＝f(x,y')型：设y'＝p，则该类方程可以看作p'＝f(x,p)，则能求出通解为p＝φ(x,C)，再将p＝dy/dx代入，则dy/dx＝φ(x,C)，再进行积分，就可求出原方程的通解。给出参考例题见图。
③y''＝f(y,y')型：因为此类方程中不明显地含有x，所以可以令y'＝p，再用复合函数求导法把y''化作对y的导数，即y''＝dp/dx＝(dp/dy)*(dy/dx)＝(dp/dy)*y'＝p*dp/dy。这样方程变成了p*dp/dy＝f(y,p)，求出通解分离变量并积分就可求出原方程通解。给出参考例题见图。

第六节：高阶线性微分方程
线性微分方程的解的结构：
（开始前请注意，本节的*不是乘号的意思，就是单纯的一个符号）
对于方程y''+P(x)y'+Q(x)y＝0来说，
有定理①：如果y1(x)与y2(x)是该方程的两个解，那么y＝C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解，其中C1与C2为任意常数。
这里引入一个新的概念，即函数组的线性相关与线性无关：设y1(x)，y2(x)，...，yn(x)为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为0的常数k1，k2，...，kn，使得当x∈I时有恒等式k1y1+k2y2+...+knyn≡0成立，那么就称这n个函数在区间I上线性相关，否则线性无关。
定理②：如果y1(x)与y2(x)是方程的两个线性无关的特解，那么y＝C1y1(x)+C2y2(x)就是方程的通解。比如y1＝sinx与y2＝cosx是方程y''+y＝0的两个特解，则该方程的通解为y＝C1cosx+C2sinx；推论：如果y1(x)，y2(x)，...，yn(x)是n阶齐次线性方程y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+aₙ₋₁(x)y'+aₙ(x)y＝0的n个线性无关的解，那么该方程通解为y＝C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)。
定理③：设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y＝f(x)的一个特解，Y(x)是与该方程对应的齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y＝0的通解，则y＝Y(x)+y*(x)是该二阶非齐次线性方程的通解。
定理④：设非齐次线性方程为y''+P(x)y'+Q(x)y＝f1(x)+f2(x)，且y1*(x)与y2*(x)分别是y''+P(x)y'+Q(x)y＝f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y＝f2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解。我们把这一定理称为线性微分方程的解的叠加定理。

第七节：常系数齐次线性微分方程
我们先讨论二阶齐次线性微分方程的解法，再把解法拓展到高阶方程。
对于方程y''+P(x)y'+Q(x)y＝0来说，如果y'，y的系数P(x)，Q(x)均为常数，那么式子可以改写成y''+py'+qy＝0，如果p，q为常数，那么称变形后的方程为二阶常系数齐次线性微分方程，如果不全为常数，则为二阶变系数齐次线性微分方程。
那么，只要存在r满足r²+pr+q＝0，函数y＝eʳˣ就是方程y''+py'+qy＝0的解，我们把代数方程r²+pr+q＝0叫做微分方程y''+py'+qy＝0的特征方程。
对于二阶齐次线性微分方程来说，基本解题步骤为：①写出该方程的特征方程，求出特征方程的两个根，根据根的不同形式，按照表格写出通解，表格与例题见图。
高阶常数系齐次线性方程解题步骤见例题，例题见图。

第八节：常系数非齐次线性微分方程
已知非齐次线性微分方程的通解，是它的一个特解与它的齐次线性微分方程的通解之和。那么要求常系数非齐次线性微分方程的通解，只需要知道怎么求它的一个特解就好了。下面介绍面对两种类型的非齐次线性方程的解题思路。
见图所示，注意本节的两个类型都是二阶线性微分方程。

第九节：欧拉方程
对于变系数的线性微分方程来说，求解是很困难的，但是有某些特殊的的变系数线性微分方程，可以通过变量代换化为常系数微分方程，欧拉公式就是其中之一。
欧拉公式概念与例题见图。

第十节：常系数线性微分方程组
我们把联立起来的几个微分方程叫做微分方程组。
对于常系数线性微分方程组，我们可以采用以下步骤：
①从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程；
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数；
③把已求得的函数带入原方程组。