考虑连接三个球冠中心的"球面三角形".求其面积,再减去三个以球冠中心为圆心的
"球面扇形"即得
该"球面三角形"可看作"球面正三角形",以其中心与三顶点的连线将该三角形分为
相等的三份(1)
以"三角形"中心与原点连线为z轴建立坐标系,且使题中三条射线中的一条在xoy平
面上的投影与x轴重合(即该"三角形"位于球面最顶端,且该"正三角形"的一条高在
xoy上的投影与x轴重合)(2)
考虑(2)中三角形的底与(1)中两连线所围的图形在xoy上的投影.
两连线投影为y=±3^(1/2)x
底边投影为{x^2+y^2+z^2=R^2,z=2^(3/2)x}
S1/3=∫∫Rdxdy/(R^2-x^2-y^2)^(1/2)
=∫(-pi/3,pi/3)dt∫(0,R/(1+8(cost)^2)^(1/2))Rrdr/(R^2-r^2)^(1/2)
=R^2∫(-pi/3,pi/3)[1-2^(3/2)cost/(1+8(cost)^2)^(1/2)]dt
=2piR^2/3-
R^2∫(-3^(1/2)/2,3^(1/2)/2)[2^(3/2)d(sint)/(9-8(sint)^2)^(1/2)]
=[2pi/3-2arcsin(2/3)^(1/2)}R^2
S1=[2pi-6arcsin(2/3)^(1/2)]R^2=(6arcsin3^(-1/2)-pi)R^2
球冠面积为S2=2piR^2(1-3^(1/2)/2)
三个"扇形"的面积为2arcsin3^(-1/2)S2/2pi
由于每个"扇形"圆心角为2arcsin3^(-1/2),即为正四面体任两面二面角大小
得要求"球面三角形"面积为S1-6arcsin3^(-1/2)S2/2pi
=[3^(3/2)arcsin3^(-1/2)-pi]R^2
"球面扇形"即得
该"球面三角形"可看作"球面正三角形",以其中心与三顶点的连线将该三角形分为
相等的三份(1)
以"三角形"中心与原点连线为z轴建立坐标系,且使题中三条射线中的一条在xoy平
面上的投影与x轴重合(即该"三角形"位于球面最顶端,且该"正三角形"的一条高在
xoy上的投影与x轴重合)(2)
考虑(2)中三角形的底与(1)中两连线所围的图形在xoy上的投影.
两连线投影为y=±3^(1/2)x
底边投影为{x^2+y^2+z^2=R^2,z=2^(3/2)x}
S1/3=∫∫Rdxdy/(R^2-x^2-y^2)^(1/2)
=∫(-pi/3,pi/3)dt∫(0,R/(1+8(cost)^2)^(1/2))Rrdr/(R^2-r^2)^(1/2)
=R^2∫(-pi/3,pi/3)[1-2^(3/2)cost/(1+8(cost)^2)^(1/2)]dt
=2piR^2/3-
R^2∫(-3^(1/2)/2,3^(1/2)/2)[2^(3/2)d(sint)/(9-8(sint)^2)^(1/2)]
=[2pi/3-2arcsin(2/3)^(1/2)}R^2
S1=[2pi-6arcsin(2/3)^(1/2)]R^2=(6arcsin3^(-1/2)-pi)R^2
球冠面积为S2=2piR^2(1-3^(1/2)/2)
三个"扇形"的面积为2arcsin3^(-1/2)S2/2pi
由于每个"扇形"圆心角为2arcsin3^(-1/2),即为正四面体任两面二面角大小
得要求"球面三角形"面积为S1-6arcsin3^(-1/2)S2/2pi
=[3^(3/2)arcsin3^(-1/2)-pi]R^2