d

思路：
原式即为：4n(n+1)=8*3^m-24，（2n+1）^2-8*3^m=-23
当m为偶数时：（2n+1）^2-8*(3^b）^2=-23 ......(1)
当m为奇数时：（2n+1）^2-24*(3^b）^2=-23 ......(2)
(1)、(2)为非标准的PELL方程，只有有限组解。网友自行完成！

这个方程很容易求得m=1，2，4三个解，但要证明仅有三个解就难了。

log3 (t²+23)/8，计算器算3的对数。
如果是整的，就有解。这样求一定范围内的解。

今天在数之谜看到了，应该是原创题集数论第28题，不知道为什么没有人贴解答

如果正整数x, y满足x²-2y²=-23, 在1≤y≤10的范围内只有(x,y)=(3,4), (7,6)两组解
对于y≥11的正整数解, x²=2y²-23> 16y²/9，可得x>4y/3, 3x-4y>0
另外x²<9y²/4可得x<3y/2, 3y-2x>0
并且x<2y, 3x-4y<x，以及x>y, 3y-2x<y
由于对每组y≥11的正整数解(x, y), x²-2y²=-23可以推出(3x-4y)²-2(2x-3y)²=-23
所以(x', y')= (3x-4y, 3y-2x)也是方程的整数解，并且0<3x-4y<x, 0<3y-2x<y
(x,y)→(3x-4y,3y-2x)的逆变换是(x',y')→(3x'+4y',3y'+2x')，
所以方程x²-2y²=-23的所有正整数解可以分为两类，每一类都按照(x,y)→(3x+4y,3y+2x)的方式递推
其中一类解是(3,4)→(25,18)→(147,104)→…
这一类中x, y单独的递推关系分别是x₁=3, x₂=25, 对n≥3, x[n]=6x[n-1]-x[n-2],
y₁=4, y₂=18, 对n≥3, y[n]=6y[n-1]-y[n-2]
另外一类解是(7,6)→(45,32)→(263,186)→…
这一类中x, y单独的递推关系分别是x₁=7, x₂=45, 对n≥3, x[n]=6x[n-1]-x[n-2],
y₁=6, y₂=32, 对n≥3, y[n]=6y[n-1]-y[n-2]
~~~~
同理可以找出x²-6y²=-23的所有正整数解有两类, 都按照(x, y)→(5x+12y, 2x+5y), x[n]=10x[n-1]-x[n-2], y[n]=10y[n-1]-y[n-2]的方式递推
第一类是(1,2)→(29,12)→(289, 118)→…
第二类是(19,8)→(191, 78)→(1891, 772)→…

然后要找出这四类解当中，所有2*3^k形式的y
(1,2)→(29,12)→(289,118)这类解当中，y₁=2, y₂=12, n≥3时y[n]=10y[n-1]-y[n-2]
模9可知y不会是9的整数倍，所以k只可能是0或1，只有y=2在其中
(19,8)→(191,78)→(1891, 772)→…这类解也一样不会有y是9的倍数，检验k=0或1都没有形如y=2*3^k的解
但是剩下两类解就很麻烦