hint：欧氏空间第二可数

另外你第二题E_n'是啥意思

定义1：在拓扑空间X里，一个由开集组成的集合B被称为X的一个基，如果对于任意属于X的x，以及包含x的开集A，都存在某个B的元素C，使得x属于C且C是A的子集。包含有可数个元素的基叫做可数基。
注释：显然一个由开集组成的集合是拓扑空间的基，当且仅当每个开集都是该集合中某些个元素的并。
定义2：一个拥有可数基的拓扑空间叫做满足第二可数公理，或曰第二可数。
定理1：欧氏空间第二可数。
证：令B是所有以有理点为中心，且半径为有理数的开球的集合，易见B可数，且为欧氏空间的基。
定理2：如图

现在证明第一题。令B是欧氏空间的可数基，对于每个B的元素b，选取一个属于b∩E的元素x_b，令F为所有这样的x_b构成的集合，因为他交于E中每个开集，所以在E中稠密。

你不是都做出来了吗

第二题我也来个构造
令f(x)=x*sin(π/x),f(0)=0
记f(x)的n次迭代的零点集合为A_n
(易知A_n'=A_{n-1}且(-2,2)包含A_n)
则E_1=∪_{n=1}^∞(4n+A_n)满足条件

写的更简一些(
应该是对的吧(

按如下方法取点: 对每一个Rn中有理点q_m，枚举半径1/n构造开球，如果开球与E有交集则选取交集中的任何一个点加入F，那么F中的点的数量一定是至多可数的(指标选取取决于m和n)。另一方面，对E中的每一个点e，任取eps，取一个小于eps/2的半径1/d，那么e的1/d开球内必有一个有理点q_n，在q_n的1/d开球内必然能选取一个属于F的点f(因为e在这个开球里)，故e到f的距离必然小于eps，也就是F在E中稠密
这是第二可数这个概念应用在Rn的版本

第二题我有一种不太好的构造方法
给一个正的有限严格递增数列(下面简称为数列) (a1,a2,...,an)，我们唯一的为它对应一个R上的点x=∑3^(-ai)对i求和，很显然对任意数列，对应的点都在[0,1]内，特别的，定义空数列∅对应原点0。下面假设E里面包含的点，都是能被上述类型数列所表示的点
一个显然的事实是，如果数列(...a)(a是数列的最后一项，下面提到的...a包含同样数列前若干项)和(...a,a+1),(...a,a+2),...对应的点都在E里面，那E的导集至少包含(...a)；对应的如果(...a)没有其他相同前缀的点，那么导集里就不包含(...a)。同理，无限迭代下去，那么所有的合法数列能够表示的全体点构成的集合，就是一个无限次迭代仍不变的集合；限制数列长度为k，则k次导集就恰好变为空集
现在按如下方法构造集合: 令An为第一个数字为n，长度至多为n的所有点构成的集合，则An恰好在第(n-1)次导集中只剩下点(n)，且第n次导集中变为空集。现取E为全体An的并集加一个{0}，则第n次导集后，En一定是Ak(k＞n)和{0}的真子集，En-E_(n-1)至少包含(n)这个点，且En一定在E_(n-1)中。这样的E满足要求

真 实变题

第二个我有个思路，我们知道任意开区间都同胚于R，鉴于我们已经知道了构造R中有限次导集链的方法，每个可导n次的集合都同胚于(n,n+1)的某个子集，取这些子集的并即可

这是实变函数里面的题目