设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)。
证明:
1. 设存在g(x)、h(x)使f(x)=g(x)+h(x)……①,且g(-x)=g(x)……②,h(-x)= - h(x)……③;
2. 联立①、②、③得f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x) - h(x)……④
3. 联立①、④得g(x)=1/2*[ f(x) + f(-x) ]……⑤,h(x)=1/2*[ f(x) - f(-x) ]……⑥
4. 由⑤、⑥得:
f(x)=g(x)+h(x);
g(-x)=1/2*[ f(-x) + f(x) ]=g(x),是偶函数;
h(-x)=1/2*[ f(-x) - f(x) ]= - h(x),是奇函数;
5. 证毕。
总结一下思路:
假设命题成立(步骤1)→得到推论(步骤2、3、4)→推论和命题成立不矛盾(步骤4)→命题成立(步骤5)
但是,这道题目中,命题成立的情况下推论成立(步骤1推出2、3、4),反过来推论成立的情况下命题也成立(步骤2、3推出4),即推论成立是与命题成立等价的,即等同于“如果命题成立那么命题成立”。
类似但更容易接受的思路是(与解此题无关):
假设命题不成立→得到推论→推论和命题不成立矛盾→命题成立
请指教这两个思路的异同,以及为什么本题的解题思路看起来是自说自话却是对的?
证明:
1. 设存在g(x)、h(x)使f(x)=g(x)+h(x)……①,且g(-x)=g(x)……②,h(-x)= - h(x)……③;
2. 联立①、②、③得f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x) - h(x)……④
3. 联立①、④得g(x)=1/2*[ f(x) + f(-x) ]……⑤,h(x)=1/2*[ f(x) - f(-x) ]……⑥
4. 由⑤、⑥得:
f(x)=g(x)+h(x);
g(-x)=1/2*[ f(-x) + f(x) ]=g(x),是偶函数;
h(-x)=1/2*[ f(-x) - f(x) ]= - h(x),是奇函数;
5. 证毕。
总结一下思路:
假设命题成立(步骤1)→得到推论(步骤2、3、4)→推论和命题成立不矛盾(步骤4)→命题成立(步骤5)
但是,这道题目中,命题成立的情况下推论成立(步骤1推出2、3、4),反过来推论成立的情况下命题也成立(步骤2、3推出4),即推论成立是与命题成立等价的,即等同于“如果命题成立那么命题成立”。
类似但更容易接受的思路是(与解此题无关):
假设命题不成立→得到推论→推论和命题不成立矛盾→命题成立
请指教这两个思路的异同,以及为什么本题的解题思路看起来是自说自话却是对的?