平面几何中的三大难题的由来
化圆为方问题
古希腊的时候，有一位学者，叫做安拉克萨哥拉，有一次，他提出：太阳是一个巨大的火球。这在现在看来，是符合客观事实的。然而在古希腊，大家都相信神话中的说法，即太阳是神灵阿波罗的化身。安拉哥萨哥拉被判定为诉读神灵，被判定死刑，投进了狱中。在等待执行的日子里，安拉克萨哥拉仍然思考着善于宇宙和万物的问题，自然其中也包括数学问题。一天晚上，他看到圆圆的月亮，透过正方形的铁窗照进牢房，他心中一动，想：如果已知一个圆的面积，那么怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？
这个问题看似简单，然而却难住了安拉克萨哥拉。因为，在古希腊，对作图工具进行了限制，那就是：作图时只准许使用直尺和圆规。安拉克萨哥拉在狱中苦苦思考这个问题，完全忘记了自已是一个待处决的犯人。后来，由于好朋友，当时杰出的政治家伯利克里的营救，安拉克萨哥拉获释出狱。然而这个问题，他自已没有能够解决，整个古希腊的数学家也没能解决决，成为历史上有名的三大几何难题之一。
三等分角问题
只准用直尺与圆规，能不能将一个任意角3等分呢？
这个题目看上去也很容易，似乎与两等分角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……
一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出符合题意的图形来!
这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自已的智力。阿基米德失败了。古希腊数学家全失败了。2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿直尺圆规，用这个难题测试过自已的智力……无数的人全都失败。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分!
一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发一个巨大的问号：三等分一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题根本无法由尺规作出，硬要用尺规去尝试，岂不是白费气力？
以后，数学家们开始了新的探索。因为，谁要是能从理论上予以证明：三等分任意角是无法由尺规作出的，那么，谁也就不能解决了这个著名的数学难题。
1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准用直尺与圆规，想三等分一个任意角是根本不可能的!这样，他率先走出了这座惑了无数人的数学谜宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。
立方倍积问题
古希腊有一座名叫第罗斯的岛。 相传有一年，平静的爱琴海的第罗斯岛上，降临了一场大瘟疫，几天时间内，岛上的许多人就被瘟疫夺取了生命，惨不忍睹，幸存的人吓得战战兢兢，毫无办法，纷纷躲进圣庙，期求神灵保佑自己和家人。人们的祈求和哀嚎声并没有感动上苍，相反，瘟疫仍在蔓延，死去的人越来越多。他们不知什么事情触怒了神灵。心城的人们日夜匍匐神庙的祭坛前，请求神灵的宽容和饶恕。悲惨的现实使人们的心灵受到了极大的创伤，泪珠和汗滴交织在一起，使神坛前面一片湿润。许多人在神坛前就到下了。据说，神终于被感化了，并叫巫师传达了旨意：“第罗斯人要想活命，必须将圣庙中的祭坛加大一倍，并且不能改变祭坛的形状。”活着的人好象得到了救命的灵丹妙药，马上就量好祭坛（长方体）的长、宽、高，连夜请工匠把长宽高加大一倍的新祭坛造好了，送进了圣庙。人们好象完成了一项光荣的使命，等待神的宽恕，然而，时间一天天过去了，瘟疫更加疯狂肆虐，人们的思想再次陷入极度的痛苦之中。在神坛前，人们说道：“尊敬的神啊，你饶恕我们第罗斯人吧，我们已经按照你的旨意办了，将神坛加大了一倍......”。后来，巫师再次传达了神的旨意，巫师冷冷地说：“你们没有满足神的要求，你们没有将祭坛加大一倍，而是加大7倍，神灵将继续严惩你们......”？聪明的人们终于明白了其中的道理，他们的确将祭坛加大为原来的8倍。但，在原来的基础上如何将祭坛加大一倍呢？第罗斯人经过长时间的思考，无法解决，只好派人到首都雅典去请教当时最著名的学者伯拉图。
伯拉图经过长时间的思考，也无法解决，他搪塞说：“由于第罗斯人不敬几何学，神灵非常不满，才降临了这场灾难。”