上一张图片中最后一个式子中的减号要改成加号,写的时候没注意不小心打错了

接下来我们就来讨论场的分类.
首先是最普通的场:标量场,它在洛伦兹变换下保持不变:

所以对于标量场而言它的无穷小变换和自旋分别是:

标量场对应于洛伦兹群的表示.
标量场通常的拉氏量为:
带入场的欧拉-拉格朗日方程可以得到Klevin-Gorden方程:
这是通常的实标量场,如果是复标量场的话,运动方程不变,拉氏量变为:

复标量场比实标量场多一种"荷"

当然标量场除了经典的Klevin-Gordon方程之外还有一些其他的模型,例如
Gordon-Sine模型:
其运动方程为这是一个含有孤子解的方程.
此外还有标量希格斯模型等其他标量场.

其次是矢量场,它在洛伦兹群的作用下等于场乘上变换矩阵:

所以场的变分是
而另一方面我们还有
联立这两个式子可以解得其自旋角动量,算出来的结果和前面洛伦兹群的六个生成元一样.
矢量场对应于洛伦兹群的
矢量场通常的拉氏量是
带入场的欧拉-拉格朗日方程可得到proca方程:
特别的是,如果粒子的质量为0,则proca方程就是齐次的Maxwell方程.