对于场论中的守恒量,也可以做类似的分析.考虑一般化的拉氏密度.那么在变换下保持不变要求:
进一步地,我们有:运用欧拉-拉格朗日方程,得到:

考虑场在时空平移平移:

此时的守恒量就是:

括号内第二项拉氏密度前面的是克罗内克符号.于是我们就得到了一个守恒量:

称为场的能动张量

由于方程:对所有的分量都是成立的,所以这告诉我们这其中蕴含着场的守恒量.例如我们取第0分量,可以得到:

结果是0是因为场在无穷大的空间区域内,不存在自然的边界,所以它们在无穷远处对于物理量是没有影响的,故结果是0.
最终结果和之前一样:时间平移不变导致能量守恒:
空间平移不变导致动量守恒:

不仅仅只时空平移,场在转动效应下同样的存在不变量.我们后续讲解洛伦兹变换的时候会回到这个问题中.
在有了对场的拉格朗日形式的表述以后,我们可以运用拉格朗日量来重新分析电磁场的相关问题.首先给出电磁场拉格朗日量的形式:
我们将用这个拉格朗日量来推导出麦克斯韦方程组:


所以有:
代入拉格朗日方程,就得到:
这正是我们之前推导的maxwell方程组中的一条.

(果然一如既往的没有人看呢）除了导出Maxwell方程组之外,电磁场的拉氏量还可以用来研究其能动量.考虑具有如下拉氏量的自由电磁场:,这里没有给出电流项是因为我们要探讨的是场本身的能动量,这只有在自由电磁场的情况下才可以做到.
那么根据上一楼层中的能动张量定义我们可以得到电磁场的能动张量定义是:

这里的那一个g是4维度单位矩阵.由于恒等式:

我们可以将电磁场的能动张量改写为:
之所以把这个能动张量改写成这个样子,是因为我们会发现原来的能动张量不是对称的(更重要的是它不满足后面将要提到的“规范对称性"）所以我们可以在原定义处添加一个四维散度:

这样子的得到的结果也是满足能动张量的守恒律的(可自行代入前两楼第一个公式验证)因此我们可以把这个作为电磁场的能动张量.

如果有把上述的电磁场能动张量具体的展开,我们就可以得到以下两个著名的结果.
电磁场的能流密度:
pointing矢量:
再结合能动张量的守恒律你就可以得到pointing能流定律:
其中的S是pointing矢量,前者希腊字母ε则是能流密度.
读者可以自行思考,如果有存在电流的情况下,那么会有怎么样的情况

更重要的一点在于,通过拉氏量我们会发现一点,Maxwell方程组满足所谓的”规范对称性“,也就是经过如下的变换:
其中的希腊字母Λ是任意一个光滑场.电磁场的拉氏量是不变的.故Maxwell方程组也保持不变,能够观测到的物理效应也不会发生任何的改变.这一点实际上有着非常深远的意义,它实际是电磁场的内部对称性,从而决定了电荷守恒以及光电耦合还有一系列重要的物理效应.不过在这里我们不打算对其进行进一步的展开.
电磁场的规范对称性可以帮助我们移除规范势的内部自由度,从而对所讨论的问题起到化简的作用.通常情况下有以下的两种规范:
第一种称之为库仑规范:满足磁矢势A是无散场:
此时的电场满足:
该种规范又称为辐射规范.库伦规范的好处在于其电势可以直接由电荷密度求出来.并且它的两种势刚好分别对应横纵偏振,缺点则是使用库伦规范可能会出现超光速现象,并且在转换参考系后需要重新做一次.
第二种称之为洛伦兹规范:满足条件:
熟悉洛伦兹规范的朋友们可以了解,采用洛伦兹规范以后电磁场仍然具有多余的自由度,但它在洛伦兹变换下是协变的.
所以通常而言,在电动力学的理论计算之中仍然采用洛伦兹规范.

好了,有关于基础Maxwell方程组的理论到此结束.在进一步展开其他内容之前,我们需要引入很重要的内容洛伦兹变换和4维时空上的物理规律.这部分内容是近现代物理的基础内容.
首先,还是从经典物理学理论谈起.经典物理认为时间和空间是不相互关联的.参考系的转换遵从伽利略变换.此时时空度规是欧里几得度规:
此时的长度元符合勾股定理:
而所谓的伽利略变换就是保持该度规和长度元不变的变换.其一般形式是:

这里的Rij是三维空间的旋转矩阵:
其中的θi,θj,θk是转轴方向上的单位向量,θ是旋转角.

害,不知不觉又鸽了一段时间.主要是没啥人看,加上网课导致我没更新的动力,大概我周末或者啥时候继续更新吧

之前说了经典物理学中参考系的变换所遵循的规律.然而在近现代物理学中,参考系的变换所遵循的规律与经典物理学中所遵循的规律是不相同的,原因是近现代的物理学认为时空是相互关联的,在四维时空上的度规元定义为:

而此时所谓的洛伦兹变换就是保持该度规元不变的变换.
洛伦兹变换有两种形式,一是四维时空种的三维度旋,其一般形式可以写成:
这里的Rij是之前提到的三维空间中的旋转矩阵
而另一种形式则是沿着三个坐标轴运动的时候的三个参考系变换,这个在狭义相对论中也叫做洛伦兹变换,其形式如下:

如果写成矩阵的亚子的话,则是下面这个亚子:

上图的gamma是

那么我们现在按照群论的观点来研究四维时空上的洛伦兹变换.
根据李群的知识,我们可以写出四维时空洛伦兹变换中的转动部分的三个生成元:

其中的下标表示绕着三个主轴的旋转矩阵.
而为了方便求出沿着三个坐标轴方向运动的时候的参考系变换的生成元,我们首先要把上面的变化矩阵的形式稍加改动
首先引入一个无量纲的物理量,称为快度，定义为:
那么前面的矩阵我们就可以写成:

于是沿着三个坐标轴方向运动的时候的参考系变换的生成元就是:

由此可见,四维时空上的洛伦兹变换总共有6个生成元.其中三个是三维空间中沿着三个坐标轴旋转的矩阵的生成元,另外三个是沿着三个坐标轴运动时参考系的变换矩阵的生成元

于是按照生成元的定义可知,我们可以把所有的洛伦兹群的元素写成:

并且我们可以写出生成元的李代数:
为了把生6个生成元都写成统一的形式,我们可以引出如下的矩阵：


以及

于是所有洛伦兹群的元素都可以写成
而生成元的李代数也可以重新写成:

而之所以引入洛伦兹群来对洛伦兹变换进行研究的原因在于,洛伦兹群的表示是区分不同的场的标志.在引入场的分类之前,我们先来研究洛伦兹群的表示.为此我们首先引入:

则洛伦兹群的李代数可以写成:
而熟悉群论的读者可以立刻知道,这正是SU(2)群的李代数su(2).所以洛伦兹群SO(1,3)和SU(2)的关系是:
即洛伦兹群的李代数可以分解成两份SU(2)群的李代数.
而对于SU(2)群,其表示可以用角动量量子数来标记:
所以洛伦兹群的表示应当用两个不同的量子数:
来标记

现在考虑洛伦兹变换:
其中的omega是无穷小变换的参数矩阵,而S则是洛伦兹群的各种不同表示,而场在洛伦兹变换的作用下有:
后一项即为场的变分.不同的场在洛伦兹群的变换下的行为不同,从而对应洛伦兹群的不同表示,从而有不同的自旋.即自旋的数值是标记场的种类的.
在变分的情况下,洛伦兹变换应写成如下的无穷小变换形式:
但是要区分的是,这是对场函数的无穷小变换形式,如果是对坐标的洛伦兹变换,其形式应该是: