我感觉epslion 的任意性,或者你说的“任何”,因该是说取任何 无论多小的正值吧;你只是举了一个连续区域的特例 ,可是epsilon并不是可以任意取的;
在你所描述的连续区域内 ,epsilon比较大时,存在delta; epsilon更小时,确实delta也存在; 所以你误认为定义中 epsilon的“任何” 指的是可以取任何正数 比如5。 But 我觉得不是这样的,定义中的epsilon应该是对于任何函数的任何区域(即使不连续)的任意性 ,比如在函数存在 跳跃间断点x<=0,y<=-2,x>0,y>2的邻域内, 按照定义极限不存在。你如果以 取较大epsilon,delta存在,就草草下结论,就会得到极限存在的结论; 所以你的epsilon和定义的epsilon 是两码事。
所以我的理解是 极限定义的epsilon 本意就是要取 一个更小的正值,来描述 趋于某点的情况。