【证】
在方格表的2003^2个小方格里全部写上1(或-1),
则:各列乘积都是1(或-1),各行乘积也都是1(或-1),
4006个行和列的乘积的和就等于4006(或-4006)。
把方格表中的任意一个小方格中的1改写为-1(或-1改写为1),
则:该小格所在行的乘积将会由1变为-1(或-1变为1),
也就是该行乘积的值减少了2(或增加了2)。
同理,该小格所在列的乘积同时也减少了2(或增加了2)。
行和列乘积各自的这两种变化(加2或减2)组合起来,
对4006个行和列的乘积的和所造成的改变有3种:
(1) 加4 (加2与加2组合),
(2) 减4(减2与减2组合),
(3) 不变(加2与减2组合)。
所以:4006个行和列的乘积的和 = 4006-4k = 2(2003-2k),k = 0,1,2,......,2003
因为:2003是奇数,2k是偶数,2003-2k 不等于0,
所以:4006个行和列的乘积的和 = 2(2003-2k) ≠ 0。
证毕。
在方格表的2003^2个小方格里全部写上1(或-1),
则:各列乘积都是1(或-1),各行乘积也都是1(或-1),
4006个行和列的乘积的和就等于4006(或-4006)。
把方格表中的任意一个小方格中的1改写为-1(或-1改写为1),
则:该小格所在行的乘积将会由1变为-1(或-1变为1),
也就是该行乘积的值减少了2(或增加了2)。
同理,该小格所在列的乘积同时也减少了2(或增加了2)。
行和列乘积各自的这两种变化(加2或减2)组合起来,
对4006个行和列的乘积的和所造成的改变有3种:
(1) 加4 (加2与加2组合),
(2) 减4(减2与减2组合),
(3) 不变(加2与减2组合)。
所以:4006个行和列的乘积的和 = 4006-4k = 2(2003-2k),k = 0,1,2,......,2003
因为:2003是奇数,2k是偶数,2003-2k 不等于0,
所以:4006个行和列的乘积的和 = 2(2003-2k) ≠ 0。
证毕。