二楼占个位子

在2018年里约热内卢ICM的Abel讲座（Abel lecture）[1]中，我解释了如何解决物理学中出现的长期数学问题，问题是解释精细结构常数α（structure constant α）。
详情发表于[2]，已提交至英国皇家科学院院刊A（proceedings A of the Royal Society）。 [2]中涉及的方法是冯·诺依曼和Hirzebruch思想的融合，它们是复杂而强大的，基于指数的无限迭代（infinite iteration of exponentials），同时具有内在的简明性（inherent simplicity）。
探索精细结构常数α的秘密是研究的动力，但是这种方法的强大和普适性表明它们可以解决其他难题，至少在那些问题难以解决时提出新的思路。在阐释ICM会议论文（ICM Proceedings）的Abel讲座上，我推测[2]的方法可能会开拓算术物理学（Arithmetic Physics）的新课题。
黎曼猜想（Riemann Hypothesis）指出ζ(s)函数在0 < Re(s) < 1上，仅当Re(s) = 1/2时存在零点。黎曼猜想是数学中最著名的未解问题之一，也是[1]中方法成立所要解决的一项巨大挑战。我相信它能够应对这一挑战，本文将进行证明。
证明依赖于新函数T(s)（Todd function），这个函数由Hirzebruch以我的老师J.A.Todd的名字命名，其定义和性质都在[2]中论述，在本文的第2节中，我会对T(s)函数进行复述和解释。在第3节中，我将使用函数T(s)来证明黎曼猜想。在题为Deus ex Machina的第4节中，我将尝试解释之所以能够简单证明黎曼猜想的原因。最后，在第5节中，我会把这篇论文置于[1]中设想的更广泛的算术物理问题中。

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网上有他直播的演讲，大概四十多分钟

野生字幕君

第二节
本节将对[2]中提出的Todd函数T(s)的性质进行总结。
我将T(s)函数称为弱解析函数（weakly analytic function），即它是解析函数族（family of analytic functions）的弱收敛（weak limit）。因此，在复数域上任何紧致集（compact set）K上，T都是解析的。如果K是凸的，T实际上是k(K)某一阶数（degree）的多项式。例如，阶梯函数是弱解析的，并且对于曲线上任何闭合区间K，阶数（degree）为0。与解析函数相反，这表明弱解析函数可以具有紧支集（Compact Support）。弱解析函数在L^2和它们的弱对偶（weak duals）中都是弱稠密的（weakly dense）。它们非常适合在L^p空间进行傅里叶变换。它们也可以组合：弱解析函数的弱解析函数是周期解析的（weekly analytic）。
定义K[a]为闭合矩形（下式称为式（2.1））

对于K[a]，T是多项式的阶数k{a} =k(K[a])。
这个定义形式上等价于Hirzebruch [3]的表述，以及他提出的Todd多项式。但是Hirzebruch的研究是关于形式幂级数（formal power series）的，而且不需要收敛。这对于他的研究来说是足够的，因为他的研究本质上是关于代数和算术的，伯努利数（Bernoulli number）的出现证明了这一点。
然而，如果与冯诺依曼的分析理论（analytical theory）联系，弱收敛（weak limits）则是必要的。因为这提供了代数、算术和分析之间的关键联系，这是ζ函数的核心。
这使得综合利用[2]中的方法证明黎曼猜想成为可能。
（第二节未完待续）

（继续第二节）
继续解释[2]中T(s)函数的其他性质：
2.2 T函数是实函数（real），即
2.3 T(1)=1
2.4 T函数将临界带（critical strip）映射为临界带，将临界线（critical line）映射为临界线。
（这一性质在[2]中没有明确说明，但是它包含于拟态原理（mimicry principle）7.6中，该原理指出T函数与任何解析式（analytic formula）相容（compatible）。特别地，有Im(T(s-1/2))=T(Im(s-1/2))）
[2]的主要结论是利用1/Æ确定α，即2.5
2.5 当Re(s)=1/2、Im(s) > 0时，T函数是关于Im(s)的单调递增函数，当Im(s)趋于无穷大时其极限为Æ。
如上所述，在给定的紧凸集（compact convex set）上，Todd多项式随着阶数（degree）的增加而稳定（stabilize）。在[3]中，Hirzebruch用等式描述了这种稳定性（stability），即2.6
2.6 如果f和g是没有常数项的幂级数，则

注：弱解析函数在原点附近有严格地幂级数展开，式2.6只是这种展开的线性近似（更确切地说，这是sqrt(s)给出的复平面（complex s-plane）的分支双覆盖（branched double cover））。这意味着

上式给出了第三节3.3中所需的均匀常数（uniform constant）1/2。
（第二节完）

感觉老爷子这次要跪的样子

插播直播现场的消息
老爷子讲述证明过程时
好像只用了一张PPT

感觉不行，费马大定理，庞加莱猜想都是页数超多
只用4页证明黎曼猜想看起来十分荒谬……

（关键的第三节来了）
第三节 黎曼猜想的证明
在本节中，我将使用Todd函数T(s)来证明黎曼猜想。证明采用反证法：假设临界条带（critical strip）内部有一个零点b但不在临界线（critical line）上。为证明黎曼猜想，需要证明b的存在会导致矛盾。
对于给定的b，在式2.1中令a = b，在矩形K[a]上，T是阶数为k{a}的多项式。考虑关于s的复合函数，由下式给出（记为式3.1）

基于上式的结构，以及ζ(b)=0的假设，有
（3.2） F在s=0处解析，且F(0)=0
在式2.6中，令f=g=F，可以得到
（3.3） F(s)=2F(s)
由于复数域不符合特征2（译者：应当是指第二节中的性质2.2），因此F(s)为零。2.3表明T不是零多项式（zero polynomial），因此它在s的亚纯函数域上（field of meromorphic functions）是可逆的。 F(s)= 0表明ζ(s)= 0，显然情况并非如此，矛盾。
以上是黎曼猜想的完整证明。
（第三节未完待续）

强行围观

惹好贴顶，虽然大概率老爷子证明有误就当给我们科普数学名词了