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以下是简略提纲：
1. 为什么需要十二律？
2. 中西方对十二律的探索
3. 为什么需要十二平均律？
4. 中西方对十二平均律的探索
5. 朱载堉对十二平均律的贡献与评价
以下是简略提纲：
1. 为什么需要十二律？
2. 中西方对十二律的探索
3. 为什么需要十二平均律？
4. 中西方对十二平均律的探索
5. 朱载堉对十二平均律的贡献与评价
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1. 为什么需要十二律？
简要说来的话，就是人对于不同的音程关系，所感觉出的和谐程度是不同的。而这一点很大程度上取决于泛音列的作用。下图出自Purves (2017)：
可以看出，一根弦在振动时，其振动波长可以是弦长，这个音被称为基音；也可以是弦长的1/2, 1/3, 1/4…1/n，这些音被称为泛音。而基音与第一泛音的弦长比例为2:1，音程关系为八度；而基音与第二泛音的比例是3:1，音程关系为十二度（八度加纯五度）。通过简单的计算可得，纯五度音程的弦长比例为3:2；同理，第二、第三泛音之间的弦长比例为4:3，也就是我们现在所称的纯四度。
同时，人对于音程关系的和谐程度也有着不同的感知。根据Plomp & Levelt (1965) 的计算，这些音程关系的和谐程度大概可以量化如下（如图，横轴为音程关系，纵轴为和谐程度，因变量越高表示该音程关系越和谐）：
从上也可看出，计算出来的和谐程度与泛音列的性质是十分不谋而合的，前面几个泛音的音程关系和谐程度远远高于其他音程。因此，毕达哥拉斯大致得出了这样一个结论：长度比例越简单的两根弦，所奏出的音程关系越和谐 (Sethares, 2005, pp.33)。
顺带一提，毕达哥拉斯学派也据此衍生出了这样一个重要观点：数是万物的基础。这个观点将音乐的和谐、甚至宇宙天体的运动周期，都解释为数的比例，因此便将音乐、数学与天文学这样联结了起来。这个观念影响了柏拉图的教育理念、古希腊音乐学、甚至中世纪的“音乐宇宙”观念等。由于这部分与本问题无关，因此不进行更多展开，有兴趣的朋友可以参考这个答案：https://www.zhihu.com/question/54856285/answer/206584493
我们讲回正文。由于乐器制造与人的听觉的限制，我们不可能在音乐里面用无限多的音程，所以需要有所选择，因此我们有了律制。又因为简单音程较为和谐，我们在制定律制的时候，会尽可能地将和谐的音程包含在律制之中。那么，最和谐的几个音程：1/2, 2/3, 3/4之中，其最小公倍数是多少呢？
没错，是12。
这就是为什么东西方都不约而同地选了十二律，也就是一个八度分为12份，来作为律制的基础。这一部分我们会在下一章节继续探讨。
简要说来的话，就是人对于不同的音程关系，所感觉出的和谐程度是不同的。而这一点很大程度上取决于泛音列的作用。下图出自Purves (2017)：
可以看出，一根弦在振动时，其振动波长可以是弦长，这个音被称为基音；也可以是弦长的1/2, 1/3, 1/4…1/n，这些音被称为泛音。而基音与第一泛音的弦长比例为2:1，音程关系为八度；而基音与第二泛音的比例是3:1，音程关系为十二度（八度加纯五度）。通过简单的计算可得，纯五度音程的弦长比例为3:2；同理，第二、第三泛音之间的弦长比例为4:3，也就是我们现在所称的纯四度。
同时，人对于音程关系的和谐程度也有着不同的感知。根据Plomp & Levelt (1965) 的计算，这些音程关系的和谐程度大概可以量化如下（如图，横轴为音程关系，纵轴为和谐程度，因变量越高表示该音程关系越和谐）：
从上也可看出，计算出来的和谐程度与泛音列的性质是十分不谋而合的，前面几个泛音的音程关系和谐程度远远高于其他音程。因此，毕达哥拉斯大致得出了这样一个结论：长度比例越简单的两根弦，所奏出的音程关系越和谐 (Sethares, 2005, pp.33)。
顺带一提，毕达哥拉斯学派也据此衍生出了这样一个重要观点：数是万物的基础。这个观点将音乐的和谐、甚至宇宙天体的运动周期，都解释为数的比例，因此便将音乐、数学与天文学这样联结了起来。这个观念影响了柏拉图的教育理念、古希腊音乐学、甚至中世纪的“音乐宇宙”观念等。由于这部分与本问题无关，因此不进行更多展开，有兴趣的朋友可以参考这个答案：https://www.zhihu.com/question/54856285/answer/206584493
我们讲回正文。由于乐器制造与人的听觉的限制，我们不可能在音乐里面用无限多的音程，所以需要有所选择，因此我们有了律制。又因为简单音程较为和谐，我们在制定律制的时候，会尽可能地将和谐的音程包含在律制之中。那么，最和谐的几个音程：1/2, 2/3, 3/4之中，其最小公倍数是多少呢？
没错，是12。
这就是为什么东西方都不约而同地选了十二律，也就是一个八度分为12份，来作为律制的基础。这一部分我们会在下一章节继续探讨。
2. 中西方对十二律的探索
这一部分我也尽可能长话短说了。
通过一番实验之后，毕达哥拉斯通过“每去掉弦长1/3，音值升高五度”的方式，制定了十二律所对应的音值 (Sethares, 2005, pp.54)，这一套律制被称为“五度相生律”，具体比例可见下图：
而无独有偶，古代的中国也有类似的试验。最早记载十二律的古籍是《管子·地员篇》，文段如下 (Xie et al., 2000, pp.980)：
凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。
而由于《管子》被质疑为后人伪托，故成书时间可能比管仲所生活的春秋年间要晚 (Ying, 2005)，而无争议的最早记载出自《吕氏春秋·音律》，文段如下 (Wang, 1992, pp.118)：
黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生。三分所生，去其一分以下生。
这种生律方式称为“三分损益法”。大致方法为决定一个标准音为“黄钟”，通过减少对应弦长的三分之一（即“损”）和增加对应弦长的三分之一（即“益”）来定出纯五度与纯四度的关系。这种方法与毕达哥拉斯的五度相生律在生律方式上有少许不同 (Luo, 1986)，但其最终生成的律制大同小异，我们在此暂且将其看作同一种律制。
下面给出一个三分损益律的生成图表作为参考 (Miao, 1983, pp.109)：
这一部分我也尽可能长话短说了。
通过一番实验之后，毕达哥拉斯通过“每去掉弦长1/3，音值升高五度”的方式，制定了十二律所对应的音值 (Sethares, 2005, pp.54)，这一套律制被称为“五度相生律”，具体比例可见下图：
而无独有偶，古代的中国也有类似的试验。最早记载十二律的古籍是《管子·地员篇》，文段如下 (Xie et al., 2000, pp.980)：
凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。
而由于《管子》被质疑为后人伪托，故成书时间可能比管仲所生活的春秋年间要晚 (Ying, 2005)，而无争议的最早记载出自《吕氏春秋·音律》，文段如下 (Wang, 1992, pp.118)：
黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生。三分所生，去其一分以下生。
这种生律方式称为“三分损益法”。大致方法为决定一个标准音为“黄钟”，通过减少对应弦长的三分之一（即“损”）和增加对应弦长的三分之一（即“益”）来定出纯五度与纯四度的关系。这种方法与毕达哥拉斯的五度相生律在生律方式上有少许不同 (Luo, 1986)，但其最终生成的律制大同小异，我们在此暂且将其看作同一种律制。
下面给出一个三分损益律的生成图表作为参考 (Miao, 1983, pp.109)：
3. 为什么需要十二平均律
但是，无论是五度相生、还是三分损益，都无可避免地出现两个问题。
第一个是，五度相生不能生成八度。
这里可以做个简单的计算。理论上五度相生12次以后，应该可以回到同一个音上，而这个音比基音高七个八度。然而计算可得，(2/3)^12≈0.0077073…，而(1/2)^7=0.0078125，两者有着一定的误差。也就是说，五度相生12次以后，所得到的音与基音并不呈八度关系。这在中国也成为“黄钟不能还原”这一千古难题 (Li & Fan, 2002)。
另一个问题是，作为十二律，其等位音理应是同一个音，也就是说G#=Ab, E#=F等，然而五度相生所得出的音列中，等位音并非同一个音，而是出现了细微的差别，如下图所示 (Sethares, 2005, pp.55)：
这两个问题导致了五度相生律不方便直接用于乐器制造上，而需要加以一定的改进。而比较主流的改进方式分为两种，一种是采用纯五度与大三度所生成的纯律，另一种是将一个八度分为12等份的十二平均律。纯律与本文关系不大，因此略过；下一章节将重点讲述中西方的学者如何探索十二平均律。
但是，无论是五度相生、还是三分损益，都无可避免地出现两个问题。
第一个是，五度相生不能生成八度。
这里可以做个简单的计算。理论上五度相生12次以后，应该可以回到同一个音上，而这个音比基音高七个八度。然而计算可得，(2/3)^12≈0.0077073…，而(1/2)^7=0.0078125，两者有着一定的误差。也就是说，五度相生12次以后，所得到的音与基音并不呈八度关系。这在中国也成为“黄钟不能还原”这一千古难题 (Li & Fan, 2002)。
另一个问题是，作为十二律，其等位音理应是同一个音，也就是说G#=Ab, E#=F等，然而五度相生所得出的音列中，等位音并非同一个音，而是出现了细微的差别，如下图所示 (Sethares, 2005, pp.55)：
这两个问题导致了五度相生律不方便直接用于乐器制造上，而需要加以一定的改进。而比较主流的改进方式分为两种，一种是采用纯五度与大三度所生成的纯律，另一种是将一个八度分为12等份的十二平均律。纯律与本文关系不大，因此略过；下一章节将重点讲述中西方的学者如何探索十二平均律。
4. 中西方对十二平均律的探索
4.1. 希腊-拉丁文化圈对十二平均律的探索
最早提出十二平均律构想的西方人，相传是古希腊的亚里士多塞诺斯 (Ἀριστόξενος ὁ Ταραντίνος)。比如文艺复兴时代的文森佐·伽利莱 (Vincenzo Galilei，著名科学家伽利略的父亲) 在其著作《古代与现代音乐的对话集》 (Dialogo della musica antica et della moderna) 中提出 (1581)，“亚里士多塞诺斯将五个全音一分为二，与两个半音一同将多利安音阶分为十二等份” (Herman, 1973, pp.309)。再如后世的Westphal et al. (1885)，Murray (1951, pp.1-2) 等皆持此说，此处不再赘述。
后来也有学者否认这一推论，认为这一说完全是过度解读 (Litchfield, 1988)。但无论哪种说法，可以确定的是亚里士多塞诺斯最多是提出了这样一种想法，但并未有任何记载说明其进行过任何相关演绎与计算。
然而，上文提到的文森佐·伽利莱反倒是现存记载中，西方第一位估算十二平均律的学者。他在著作《弗洛尼莫对话集》(Fronimo Dialogo di Vincentio Galilei) 中提出 (1568)，在琉特琴定弦时，可以将每个半音的弦长比定为18/17。但这个数字只能认为是一种近似十二平均律的尝试，因为 (18/17)^12≈1.98556…，重复十二次后并不能得到精确的八度。然而这种近似依然十分实用，因为简便易算，只需要少许微调即可得到较为准确的十二平均律制 (Murray, 1951, pp.57)。
1596年，荷兰数学家斯台文 (Simon Stevin) 首次提出用等比数列思想求十二平均律，但其只精确至四位有效数字、且手稿中有计算错误 (Li, 2006)。更可惜的是，他个人似乎并未重视这一研究成果，其相关著作《歌唱艺术的理论》(Vande Spiegheling der Singconst) 直至将近300年后才被发掘并发表出来 (Stevin, 1884)。
由于斯台文的著作长期被埋没，一般认为梅森 (Marin Mersenne) 是欧洲首位算出精确十二平均律的学者。他在《宇宙的和谐》(Harmonie Universelle) 中给出了数个关于十二平均律的计算 (1636)。然而，同时代的意大利传教士利玛窦 (Matteo Ricci) 已在中国传教并在其笔记中记录过朱载堉的新法密率。尽管没有证据说明利玛窦将这些笔记带回欧洲，但也有学者推测斯台文可能接触过利玛窦搜集到的相关资料 (Grenfell, 2005, pp.35-36)。
第一位用对数计算十二平均律的是德国数学家法奥哈伯 (Johann Faulhaber)，他在著作《工程学校》(Ingenieurs-Schul) 中给出了精确数值 (1630, pp.167)，但却没有给出计算方法 (Christensen, 2006, pp.211)。此后尚有罗斯 (Lemme Rossi)，罗布科维茨 (Juan Caramuel de Lobkowitz)，以及著名天文学家惠更斯 (Christiaan Huygens) 等均用对数法算出了较为精确的十二平均律 (Christensen, 2006, pp.211-212)。此时数学工具已经较为成熟，在此不再阐述。
在此，西方的学者也已计算出精确的十二平均律制，我们把目光移回中国。
4.1. 希腊-拉丁文化圈对十二平均律的探索
最早提出十二平均律构想的西方人，相传是古希腊的亚里士多塞诺斯 (Ἀριστόξενος ὁ Ταραντίνος)。比如文艺复兴时代的文森佐·伽利莱 (Vincenzo Galilei，著名科学家伽利略的父亲) 在其著作《古代与现代音乐的对话集》 (Dialogo della musica antica et della moderna) 中提出 (1581)，“亚里士多塞诺斯将五个全音一分为二，与两个半音一同将多利安音阶分为十二等份” (Herman, 1973, pp.309)。再如后世的Westphal et al. (1885)，Murray (1951, pp.1-2) 等皆持此说，此处不再赘述。
后来也有学者否认这一推论，认为这一说完全是过度解读 (Litchfield, 1988)。但无论哪种说法，可以确定的是亚里士多塞诺斯最多是提出了这样一种想法，但并未有任何记载说明其进行过任何相关演绎与计算。
然而，上文提到的文森佐·伽利莱反倒是现存记载中，西方第一位估算十二平均律的学者。他在著作《弗洛尼莫对话集》(Fronimo Dialogo di Vincentio Galilei) 中提出 (1568)，在琉特琴定弦时，可以将每个半音的弦长比定为18/17。但这个数字只能认为是一种近似十二平均律的尝试，因为 (18/17)^12≈1.98556…，重复十二次后并不能得到精确的八度。然而这种近似依然十分实用，因为简便易算，只需要少许微调即可得到较为准确的十二平均律制 (Murray, 1951, pp.57)。
1596年，荷兰数学家斯台文 (Simon Stevin) 首次提出用等比数列思想求十二平均律，但其只精确至四位有效数字、且手稿中有计算错误 (Li, 2006)。更可惜的是，他个人似乎并未重视这一研究成果，其相关著作《歌唱艺术的理论》(Vande Spiegheling der Singconst) 直至将近300年后才被发掘并发表出来 (Stevin, 1884)。
由于斯台文的著作长期被埋没，一般认为梅森 (Marin Mersenne) 是欧洲首位算出精确十二平均律的学者。他在《宇宙的和谐》(Harmonie Universelle) 中给出了数个关于十二平均律的计算 (1636)。然而，同时代的意大利传教士利玛窦 (Matteo Ricci) 已在中国传教并在其笔记中记录过朱载堉的新法密率。尽管没有证据说明利玛窦将这些笔记带回欧洲，但也有学者推测斯台文可能接触过利玛窦搜集到的相关资料 (Grenfell, 2005, pp.35-36)。
第一位用对数计算十二平均律的是德国数学家法奥哈伯 (Johann Faulhaber)，他在著作《工程学校》(Ingenieurs-Schul) 中给出了精确数值 (1630, pp.167)，但却没有给出计算方法 (Christensen, 2006, pp.211)。此后尚有罗斯 (Lemme Rossi)，罗布科维茨 (Juan Caramuel de Lobkowitz)，以及著名天文学家惠更斯 (Christiaan Huygens) 等均用对数法算出了较为精确的十二平均律 (Christensen, 2006, pp.211-212)。此时数学工具已经较为成熟，在此不再阐述。
在此，西方的学者也已计算出精确的十二平均律制，我们把目光移回中国。
5. 朱载堉对十二平均律的贡献与评价
本部分涉及一些私货，请谨慎观看。但需要注意的是，这些“私货”都是整理客观学术资料后所得出的，并不代表本人预设了任何立场，如果有任何叙述失当的地方，还请雅正。
个人认为，在大多音乐爱好者的了解之下，朱载堉恐怕略有过誉，原因如下：
正如算出几万亿位圆周率确实说明数学计算能力强大，但实际工程应用上小数点后十几位就够用了。在朱载堉之前，中国有何承天的新律，西方有伽利莱的18/17约算，也在很大程度上足以替代准确的十二平均律。因此，朱载堉的创举更多像是在纯数学领域上迈了一大步，但在实际在乐器演奏上的应用可能反倒没那么大…
朱载堉的计算更多像是用精密的计算得出了某个解；而数学上的许多重大突破，更多在于数学工具的革新，而这并非我们现在所见的情况。
之前没人算出精确的十二平均律，也是因为数学工具（等比数列、对数等）的发展程度不够，当相应的数学工具发展到这个程度后，算出这一律制便是必然事件。事实上斯台文、法奥哈伯他们也确实在数十年后独立算出十二平均律。我们也可以据此假设，假如朱载堉没有做到这一创举，对于音乐史的发展影响也极为有限。
所以，相比之下个人更认为何承天的学术地位相对更高…因为何承天的新律在实际操作上足以当作十二平均律来应用、而且与西方（伽利莱）相比，也确确实实早了一千多年…在超前性与实用价值方面，都应比朱载堉更胜一筹嗯~
最后吐个小槽：
我经常看到有人将朱载堉和巴赫的十二平均律相提并论，甚至有神论说：“没有朱载堉发明十二平均律，哪有巴赫的十二平均律钢琴曲…”，实在是令人啼笑皆非。事实上这是典型的望文生义，十二平均律的英文是twelve-tone equal temperament，巴赫的十二平均律钢琴曲德文原文是Das wohltemperierte Klavier，直译成英文是The Well-Tempered Clavier (好的律制键盘)，两者风马牛不相及，何谈因果关系。即便朱载堉没有发明十二平均律，你用其他律制的钢琴，也照样可以演奏的呀。
本部分涉及一些私货，请谨慎观看。但需要注意的是，这些“私货”都是整理客观学术资料后所得出的，并不代表本人预设了任何立场，如果有任何叙述失当的地方，还请雅正。
个人认为，在大多音乐爱好者的了解之下，朱载堉恐怕略有过誉，原因如下：
正如算出几万亿位圆周率确实说明数学计算能力强大，但实际工程应用上小数点后十几位就够用了。在朱载堉之前，中国有何承天的新律，西方有伽利莱的18/17约算，也在很大程度上足以替代准确的十二平均律。因此，朱载堉的创举更多像是在纯数学领域上迈了一大步，但在实际在乐器演奏上的应用可能反倒没那么大…
朱载堉的计算更多像是用精密的计算得出了某个解；而数学上的许多重大突破，更多在于数学工具的革新，而这并非我们现在所见的情况。
之前没人算出精确的十二平均律，也是因为数学工具（等比数列、对数等）的发展程度不够，当相应的数学工具发展到这个程度后，算出这一律制便是必然事件。事实上斯台文、法奥哈伯他们也确实在数十年后独立算出十二平均律。我们也可以据此假设，假如朱载堉没有做到这一创举，对于音乐史的发展影响也极为有限。
所以，相比之下个人更认为何承天的学术地位相对更高…因为何承天的新律在实际操作上足以当作十二平均律来应用、而且与西方（伽利莱）相比，也确确实实早了一千多年…在超前性与实用价值方面，都应比朱载堉更胜一筹嗯~
最后吐个小槽：
我经常看到有人将朱载堉和巴赫的十二平均律相提并论，甚至有神论说：“没有朱载堉发明十二平均律，哪有巴赫的十二平均律钢琴曲…”，实在是令人啼笑皆非。事实上这是典型的望文生义，十二平均律的英文是twelve-tone equal temperament，巴赫的十二平均律钢琴曲德文原文是Das wohltemperierte Klavier，直译成英文是The Well-Tempered Clavier (好的律制键盘)，两者风马牛不相及，何谈因果关系。即便朱载堉没有发明十二平均律，你用其他律制的钢琴，也照样可以演奏的呀。
