关于米尔黑德定理的讨论求助

一楼不等式的计算机验算1：
（4,2,0≥3,2,1）

程序的原理是代入一亿个三维点进行验证，如果发现反例便输出反例，若没有发现反例则输出在第几次实验中取到了最接近的差值，差值是多少。上图右下的输出结果为17210024，0.000000意为在第17210024次实验中取到了两个多项式差的最小值0.000000

一楼不等式的计算机验算2：
（4,2,0 ? 3,3,0）

上图右下的输出结果为EEROR-6意为在第6次实验中找到了反例。具体反例见上图

于是发现对于仅轮换对称（cyc而非sym）的三元齐次不等式来说，米尔黑德定理很多时候也是可以成立的，往往在次数相差较大的时候成立，而次数相近的时候（例如420与411，420与330）是不成立的。便有如下思考，欢迎大神们斧正赐教。
1、类似这样的不等式能否证明或证伪
2、证明或证伪的过程可否推广到一般情况
3、轮换对称和与标准对称和的联系与区别有哪些？也就是说（123和321，亦或是420和240）有什么样的本质区别或者是联系，对不等式有哪些影响
4、如果我们得到了一些这方面的结论，那么在sym与cyc不同形式下的这样的结论在不等式的强度上，意义上会有哪些不同或相同之处呢。cyc下不等式是更强或使更弱，亦或是有其它的不等式可以更好的解释理解呢（比如借助排序不等式）
楼主才疏学浅，只是今天碰巧有时间研究了一下非标准对称意义下的齐次化技术，受陈计老师代数不等式影响颇多，非常期待一个非常美的结论能够出现，能和吧友讨论。我会把我的思考在以下几楼尽量展现出来，如果有任何问题或者是不妥之处请各位指正，非常感谢各位（深鞠躬）

一个非常有意思的事情：

所以420是否能通过均值配凑的方式获得123，321的估计呢。。。我好像没配出来

刚刚提到的用排序不等式来理解

发现的新证法，10楼的配凑非常凶猛。。。学习了。。。