一道关于连续函数的积分的题目

用Holder不等式证明左端关于r单调递增是容易的，但对于那个极限等式的证明并不简单。
如果两边取对数，那么可以转化为含参变量积分的求导问题，从而得到解决。
但从这道题在教材中的位置可以知道存在只利用连续函数积分性质的解法，但很难找到。

这道题在离散条件下的极限等式是可以解决的，但要推广到积分情况却很困难。