十六夜
十五夜の翌日の月は十六夜（いざよい）と呼ばれます。「いざよう」とは「ためらう」という意味で、前日十五夜の月よりも遅くためらうようにして出てくることからの呼び方です。
南米チリのALMA電波望遠鏡は66台のパラボラアンテナから構成されており、このうち日本が開発した16台には「いざよい」という愛称がつけられています。

立待月、居待月、寝待月、更待月
十六夜以降の月には、順に「十七夜：立待月（たちまちづき）」「十八夜：居待月（いまちづき）」「十九夜：寝待月（ねまちづき）」「二十夜：更待月（ふけまちづき）」の呼び名があります。立待月は「立って待っていると出てくる月」という意味で、その後「座って」「寝て」「さらに夜が更けて」となります。

十三夜：後の月、豆名月、栗名月
十五夜から約1か月後となる旧暦九月十三日の月は「十三夜」「後（のち）の月」と呼ばれており、この日にもお月見をする習慣があります（十五夜と同様、毎月十三日の夜が十三夜ですが、とくに九月十三日を指すことが多いです）。2015年は10月25日です。
豆や栗をお供えすることから「豆名月」「栗名月」とも呼ばれます。

スーパームーン
中秋の名月の翌日、9月28日の満月は今年の満月のうちで一番大きく見える満月と説明しました。このようにとくに大きく見える満月を、近年では「スーパームーン」と呼ぶようになってきているようです。
もともとは占星術師が提唱した言葉のようで、天文学用語ではありません。したがって天文学的な定義はありませんが、「月と地球が最接近するタイミングの前後で、満月（望）もしくは新月（朔）となったとき、その月をスーパームーンと呼ぶ」というのが一つの説です。この意味では「タイミングが合えば、当年で2番目の大きさの満月でも」「新月でも」スーパームーンとなりますが、「満月のうちで一番大きく見えるもの」が、とくに広く話題になるようです。
満月と、月と地球の最接近とのタイミングの一致は、満月14回ごとに起こります。2015年9月28日の次（14回後）は2016年11月14日、その次は2018年1月2日、…となります
新月のスーパームーンは、前回は2015年2月19日、次回は（2月19日から数えて14回後の）2016年4月7日です
タイミングの幅の取り方によっては、ある期間に複数回のスーパームーンがあると考えることもできます。2015年9月28日の場合は「満月と最接近のタイミングの差は約1時間」ですが、8月30日は約20時間、10月27日は約23時間で、「差が1日以内ならタイミングが合った」と考えれば8月も10月もスーパームーンと呼べることになります
※アストロアーツの天文現象カレンダーなどでは、現在のところ「タイミング差が12時間以内の満月」のことを便宜的にスーパームーンと記載しています

ブルームーン
1か月の間に2回満月があるとき、その2回目の満月のことを「ブルームーン」と呼ぶことがあります。もともとは「一つの季節の間に4回満月があるときの3回目の満月」を指す言葉だったようですが、現在では「ひと月で2回目の満月」のほうがよく知られています。実際に満月が青く見えるわけではありません。
前回は2015年7月31日の満月がブルームーンでした。次回は2018年1月31日の満月がブルームーンですが、この日は皆既月食が起こるので「ブルームーンが赤く見える」ことになります。

月について、もっと知りたい方は
星ナビ.comの「こだわり天文書評」で月に関する本の書評を掲載しています。科学的に、文化的に、あるいは鑑賞の対象として、月をより深く知ってみましょう。