1.QM里的态和QFT里的态所在的希尔伯特空间是同一个空间么？
如果是，为什么不能继续用QM里的态函数的形式在QFT里进行计算？
如果不是，说明有什么不同。

2.K-G方程等价于相对论里的E^2=p^2+m^2。（把E换成H的话就很容易看出了）
这个式子的本质是四维矢量的长度在洛仑兹变换下不变，显然在非自由场的情况也是成立的，而非自由场当然不能用K-G方程描述，在这个矛盾之中问题出在哪里？

这几个问题和问题1其实答案都指向同一个核心，我就写一起吧：
3.在QM中，x是算符，因此态可以用一个x表象的波函数来理解。在QFT中，x变成了参数，即不存在一个x表象，这时候应该怎么理解一个抽象的态|a>呢？
4.在QM中，对易关系是x和p算符之间的关系，在QFT中，变成了场算符之间的对易关系。这一种不太自然的突变到底有什么根源？（当然有人会强行觉得它很自然，至少我觉得它不太自然。）
5.为什么在QM之中顺风顺水的利用波函数进行计算的思路，却在QFT上很少见？（我是从来没见过）利用波函数进行计算的思路在QFT中会遇到什么样的困难？

最后再问一个不那么刁钻的问题，估计哪本书上应该有答案，希望看过的人告诉我……
能不能证明QFT的对易关系和QM的对易关系是等价的呢？怎么证明？

你为什么不去看书，这些问题很多都可以教课书上找到答案…

不是Fork空间吗？高量里提到的粒子数表象？

不妨读读Weinberg，前五章解决你一切疑难问题。

其实这些问题倒没有cloudk想得那么深。楼主这些问题最主要的并不是QFT的问题，还是从有限自由度系统向无限自由度系统过渡的对应没有弄清楚。
1、QFT的态空间要比量子力学里的大得多。QM里的态是以时空M为底流形的复线丛上的所有满足一定条件（比如平方可积）的截面\sigma(M)。而QFT里的态可以认为以前面的\sigma(M)为底流形上的所有满足一定条件的截面。直白来说，QFT里的态是个泛函，不是简单的“波函数”。
2、K-G方程满足质壳关系。但非自由的标量场之所有不由KG方程描述是因为KG方程没有粒子间的相互作用能项，这个从自由场拉氏量到非自由拉氏量的变换显而易见。但实粒子的质壳关系依然不受影响。
3、4、5本质同1，原因都在于没有很好地理解从粒子系统到场系统的过渡。当然Weinberg的书会有更深刻的解释为什么是场。中心好像是簇分解原理。

原来QM的动力学变量，大多是像位置这样的很直观的东西；现在QFT的动力学变量是一个空间点上的场，对易关系自然地推广就好了；Weinberg前五章就不从场开始，更有Paincare群＋QM的意思，然后告诉你用升降算符是什么道理，用了之后发现能整合成局域到时空点上的算符，这么走下来就接受场论确实是个好东西了

原来QM的动力学变量，大多是像位置这样的很直观的东西；现在QFT的动力学变量是一个空间点上的场，对易关系自然地推广就好了；Weinberg前五章就不从场开始，更有Paincare群＋QM的意思，然后告诉你用升降算符是什么道理，用了之后发现能整合成局域到时空点上的算符，这么走下来就接受场论确实是个好东西了

原来QM的动力学变量，大多是像位置这样的很直观的东西；现在QFT的动力学变量是一个空间点上的场，对易关系自然地推广就好了；Weinberg前五章就不从场开始，更有Paincare群＋QM的意思，然后告诉你用升降算符是什么道理，用了之后发现能整合成局域到时空点上的算符，这么走下来就接受场论确实是个好东西了

手机经常发重…多推荐本书，曹天予的20世纪场论发展纲领

Regarding your 3 and 4, they are nontrivial questions. Promoting [x, p] to [\phi,\pi] is a mathematical analogy, there is no direct correspondence between x and \phi, or p and \pi. The proper conceptual bridge is offered by a classic paper by Newton and Wigner: Localized States for Elementary Systems Rev. Mod. Phys. 21, 400.
According to their paper, there is no difficulty defining position operators in relativistic QFT of massive particles(massless cases are tricky). For a short exposition of the paper see
physics.stackexchange.com/questions/83251/single-particle-wavepackets-in-qft-and-position-measurement/83365#83365