解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为，把A、B两点坐标代入上式，得，解之，得，故抛物线解析式为，顶点为；（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合， ∴y<0，即-y>0，-y表示点E到OA的距离，∵OA是的对角线，∴，因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6；（3）①根据题意，当S=24时，即，化简，得，解之，得，故所求的点E有两个，分别为E1（3，-4），E2（4，-4），点E1（3，-4）满足OE=AE，所以是菱形；点E2（4，-4）不满足OE=AE，所以不是菱形；②当OA⊥EF，且OA=EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形。
