我想要做的就是解说一下广义相对论的数学基础，尤其是里面某些个容易引发混乱的地方（当然是我自己的理解）。我看我是不是可以开一个连载了？上回已经写过流形，下面就写一点曲率和拓扑的关联好了。
这个问题在相对论中以宇宙空间几何问题的面貌出现。如果假定了各向同性和空间均匀性（这个实际上表示流形自己的等距变换群的作用是可迁的），那么可以证明，宇宙的空间几何“只有”三种，分别对应于截面曲率为正、零和负的情况。这三种空间都有标准的model：第一种对应于三维的球面，第二种对应于三维Euclidean空间，第三种对应于三维的双曲空间。
然而现在人们需要考虑一个非常重要的反问题：不论我们观测到宇宙的空间几何究竟有正的、等于零的还是负的截面曲率，我们是不是能够断定，宇宙的空间几何一定是球、Euclidean空间或者双曲空间？实际上，甚至没有任何理由可以断言，宇宙的空间几何是单连通的，然而宇宙学家似乎长久以来都默认了这一假定。
幸运的是，通过并不复杂的讨论，可以证明这样一个定理：如果常截面曲率Riemann流形是完备的，那么它的Riemannian universal covering（意思就是，通过covering的pull back把流形的度量回拉到universal covering上面去）一定等距于刚才提到的三种标准的model。于是，要想全面地了解完备的常截面曲率空间，就只需要了解刚才的三种模型的等距变换群的离散子群了。这些讨论假定了宇宙空间几何的完备性。当然，假若不完备，那么问题就会更加复杂。
刚才的讨论都是从物理的角度出发的，现在暂时离开一下物理。之前提到过，Riemann度量是光滑流形上面的附加结构，但是流形本身的拓扑性质对Riemann度量提出了不少必须满足的条件。换句话说，虽然Riemann度量的构造有相当大的任意性，但是到头来却不可以跳出那些必须满足的制约。举个例子：在单连通的紧三维流形上面不可能定义整体的Euclidean度规，因为（这个例子似乎太大了一点）这样的流形微分同胚于三维的球，而后者自然不能定义整体的平坦度量。
——总结起来，既然Riemann度量受到拓扑的限制，我们就有可能通过度规的性质反推流形的拓扑性质。刚才提到的宇宙空间几何就是一个例子：通过两条基本假设推断出来，在宇宙的时空度规给定的情况下，空间上诱导出来的Riemann度量一定具有常截面曲率，从而

顶，虽然不懂