数学的本质是什么？
到了现代，当然没有人再会把数学当成是单纯是研究数量关系的学科了。但如果去看一些介绍数学的科普书籍或百科全书，发现其对数学的定义大多仍旧比较含混不清，诸如研究抽象结构，研究空间关系之类的说法仍旧显得过于空泛，并没有真正表达出数学的本质。
我认为数学的本质要素有三个：抽象、变换、推广。一切数学对象，一切数学流程都是建立在这三个要素的操作之上。抽象，抽象的抽象，抽象的抽象的抽象，抽象形成的对象的变换，变换的抽象，抽象对象的推广，变换的推广，推广的变换，诸如此类，等等。
数学中最基础的概念不是数，或点、线、面之类。而是集合与映射。一切数学分支，一切数学对象，本质上都建立在集合与映射的基础上，理解了这一点，你就理解了数学。
所谓抽象，当你把一些对象放在一个集合里，这就是抽象。（当然这只是粗略的简单说法，深入思考的话可以在此基础上给“抽象”下一个更严格的定义）。
当你把一个集合映射到一个集合，这就是变换。
当你抽取一个集合的子集，构成新的集合，也就是一些子集的集合，这就是推广。
当然，更严格的说基础概念不应该是集合与映射，而应该是类与映射，这是为了避免集合论导致的悖论。
如果一些类能成为类的元素，我们就把这样的类称为集合；如果一些类不能成为类的元素，那这样的类就称为本性类。
通过这样的区分，我们可以避免类似罗素悖论之类的悖论，原先罗素悖论说如果一个集合是所有不属于自己的集合构成的集合，那显然无论这个集合是否属于自己，都构成了悖论。而现在我们可以说所有不属于自己的集合构成的类是一个本性类。
不过为了方便起见，下面我们还是使用集合的概念。
我们不妨从小学算术说起，看最简单的小学算术基础上，如何能构建起整个现代数学的大厦。
首先从任何小学生都要学的自然数，也就是0、1、2、3、4、……说起。
自然数的本质是什么？自然数的本质就是集合
我们考虑一些对象组成的集合，这些集合的元素是一些猫也好，一些狗也好，一些人也好，一些沙子也好，一些凳子也好，一些糖果也好，或者一些抽象概念也好，如果一个集合A与另外一个集合B之间能够建立起一一对应的映射关系，我们就把这两个集合放到同一个集合里去，成为同一个集合里的元素，按照这种方式，所有的集合都会被分配到对应的不同集合中去。
按照以上的方式，所有属于同一个集合的集合之间，我们称之为等价，这个等价满足反身性（一个集合自己与自己等价），对称性（A如果和B等价，则B一定也和A等价），传递性（如果A和B等价，B和C等价，则A和C等价）。
按照以上方式，所有属于同一个集合的集合可以视为同一个对象，我们拿出其中的一个作为代表也可以，用一个符号来表示它们也可以，通过这样的一个操作，实际上我们就得出了自然数的概念（严格说是比包含自然数在内的更广义的数的概念，比如所有自然数的集合对应的数是阿列夫0，直线上的点构成的集合对应的数是2的阿列夫0次方，二维空间中的点，乃至无穷维空间中的点和可以和一维空间中的点建立一一对应，因此对应的数也都是2的阿列夫0次方）。
所以自然数的本质是集合，0表示的是空集，1表示的是所有能和一根手指建立对应关系的集合，2是所有能和两个手指建立一一对应关系的集合。
而且通过以上定义的等价关系，我们也有了无限和有限的定义，所谓有限是那些子集不能等价于母集的集合（部分不能等价于整体），无限是子集能等价于母集的的集合（部分能等价于整体）
我们来看一下能够对自然数做什么？
首先我们能在自然数之间建立序的关系，比如k、n都是自然数，如果k代表的集合元素，能够和n代表的集合的真子集元素一一映射，就定义为k<n,反之则为k>n
如果k代表的集合，能够和n代表的集合本身建立一一对应的关系,那就是k=n.
我们可以看到任何两个自然数之间都可以存在这种序的关系,或者小于,或者大于,或者等于,并且所有这些关系都满足传递性,所以自然数是一个全序的集合。
有了全序的概念，我们就可以接着定义稠密或稀疏的概念，我们可以看到并不是任意两个自然数之间都存在第三个自然数夹在它们两个当中，所以自然数不是稠密的。
那么能否构造一个数学对象的全序集，使得这个集合中任意两个元素之间，都能有同属一个集合的第三个元素，夹在它们当中呢？从而使这个全序集是稠密的
这时候就需要“推广”出场了。
但在推广出场之前，我们先让变换出场。
对自然数最基础的变换就是加法，加法的实质不过是我们给出任意两个自然数，我们都能让其对应到第三个自然数。更具体点，我们可以把加法定义为了，两个数所代表的互不相交的集合进行并集的操作，形成的并集的等价类。
可以验证自然数范围内的加法满足封闭性、结合律、交换律。
我们可以把加法推广到乘法，乘法就是一个数不断对自身进行迭代的加法操作。自然数范围内的乘法同样满足封闭性、结合律、交换律。
并且乘法和加法满足分配律
到了现代，当然没有人再会把数学当成是单纯是研究数量关系的学科了。但如果去看一些介绍数学的科普书籍或百科全书，发现其对数学的定义大多仍旧比较含混不清，诸如研究抽象结构，研究空间关系之类的说法仍旧显得过于空泛，并没有真正表达出数学的本质。
我认为数学的本质要素有三个：抽象、变换、推广。一切数学对象，一切数学流程都是建立在这三个要素的操作之上。抽象，抽象的抽象，抽象的抽象的抽象，抽象形成的对象的变换，变换的抽象，抽象对象的推广，变换的推广，推广的变换，诸如此类，等等。
数学中最基础的概念不是数，或点、线、面之类。而是集合与映射。一切数学分支，一切数学对象，本质上都建立在集合与映射的基础上，理解了这一点，你就理解了数学。
所谓抽象，当你把一些对象放在一个集合里，这就是抽象。（当然这只是粗略的简单说法，深入思考的话可以在此基础上给“抽象”下一个更严格的定义）。
当你把一个集合映射到一个集合，这就是变换。
当你抽取一个集合的子集，构成新的集合，也就是一些子集的集合，这就是推广。
当然，更严格的说基础概念不应该是集合与映射，而应该是类与映射，这是为了避免集合论导致的悖论。
如果一些类能成为类的元素，我们就把这样的类称为集合；如果一些类不能成为类的元素，那这样的类就称为本性类。
通过这样的区分，我们可以避免类似罗素悖论之类的悖论，原先罗素悖论说如果一个集合是所有不属于自己的集合构成的集合，那显然无论这个集合是否属于自己，都构成了悖论。而现在我们可以说所有不属于自己的集合构成的类是一个本性类。
不过为了方便起见，下面我们还是使用集合的概念。
我们不妨从小学算术说起，看最简单的小学算术基础上，如何能构建起整个现代数学的大厦。
首先从任何小学生都要学的自然数，也就是0、1、2、3、4、……说起。
自然数的本质是什么？自然数的本质就是集合
我们考虑一些对象组成的集合，这些集合的元素是一些猫也好，一些狗也好，一些人也好，一些沙子也好，一些凳子也好，一些糖果也好，或者一些抽象概念也好，如果一个集合A与另外一个集合B之间能够建立起一一对应的映射关系，我们就把这两个集合放到同一个集合里去，成为同一个集合里的元素，按照这种方式，所有的集合都会被分配到对应的不同集合中去。
按照以上的方式，所有属于同一个集合的集合之间，我们称之为等价，这个等价满足反身性（一个集合自己与自己等价），对称性（A如果和B等价，则B一定也和A等价），传递性（如果A和B等价，B和C等价，则A和C等价）。
按照以上方式，所有属于同一个集合的集合可以视为同一个对象，我们拿出其中的一个作为代表也可以，用一个符号来表示它们也可以，通过这样的一个操作，实际上我们就得出了自然数的概念（严格说是比包含自然数在内的更广义的数的概念，比如所有自然数的集合对应的数是阿列夫0，直线上的点构成的集合对应的数是2的阿列夫0次方，二维空间中的点，乃至无穷维空间中的点和可以和一维空间中的点建立一一对应，因此对应的数也都是2的阿列夫0次方）。
所以自然数的本质是集合，0表示的是空集，1表示的是所有能和一根手指建立对应关系的集合，2是所有能和两个手指建立一一对应关系的集合。
而且通过以上定义的等价关系，我们也有了无限和有限的定义，所谓有限是那些子集不能等价于母集的集合（部分不能等价于整体），无限是子集能等价于母集的的集合（部分能等价于整体）
我们来看一下能够对自然数做什么？
首先我们能在自然数之间建立序的关系，比如k、n都是自然数，如果k代表的集合元素，能够和n代表的集合的真子集元素一一映射，就定义为k<n,反之则为k>n
如果k代表的集合，能够和n代表的集合本身建立一一对应的关系,那就是k=n.
我们可以看到任何两个自然数之间都可以存在这种序的关系,或者小于,或者大于,或者等于,并且所有这些关系都满足传递性,所以自然数是一个全序的集合。
有了全序的概念，我们就可以接着定义稠密或稀疏的概念，我们可以看到并不是任意两个自然数之间都存在第三个自然数夹在它们两个当中，所以自然数不是稠密的。
那么能否构造一个数学对象的全序集，使得这个集合中任意两个元素之间，都能有同属一个集合的第三个元素，夹在它们当中呢？从而使这个全序集是稠密的
这时候就需要“推广”出场了。
但在推广出场之前，我们先让变换出场。
对自然数最基础的变换就是加法，加法的实质不过是我们给出任意两个自然数，我们都能让其对应到第三个自然数。更具体点，我们可以把加法定义为了，两个数所代表的互不相交的集合进行并集的操作，形成的并集的等价类。
可以验证自然数范围内的加法满足封闭性、结合律、交换律。
我们可以把加法推广到乘法，乘法就是一个数不断对自身进行迭代的加法操作。自然数范围内的乘法同样满足封闭性、结合律、交换律。
并且乘法和加法满足分配律
