在看什么书.....为什么你的帖子那么让我不明觉厉.......

集合X是包含(0,0)的吧， 拓扑取R^2的induced topology. 这个空间和单位圆S^1是同伦等价的，故不可缩.
j是S^1到X的map, 把S^1的下半圆弧逆时针映射到X的下半圆弧。把S^1上半圆弧分成一段段挨着的无限可数闭区间，当然这些闭区间从(1,0)开始走，不包括(-1,0),j把每段闭区间按先后次序映射到X上面的线段往返一次，可以验证这确实是连续函数。
i是X到S^1的map, 同样下半圆弧对应下半圆弧，1/n线段映射到从(1,0)到(-1,0)的上半圆弧，这显然是连续函数。
然后可以常规的验证它们是homotopy equivalence.

得用van Kampen 定理算基本群吧？这个例子跟夏威夷耳环有点像。