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一道考研题
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limanjiashe
托儿所
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设f是R上周期为1的连续可微函数,如果f满足:对任意的x,f(x)+f(x+0.5)=f(2x),证明f恒等于零。
鍾耀棋
五年级
8
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证好,虽然很慢,在真正考时,会来不及写两题… 噗
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2024-10-05 13:02
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鍾耀棋
五年级
8
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改回来了,证明更简单:
证:
因为 f(x) + f(x+0.5) = f(2x) , 且 f ' 连续,所以
有 f'(x) + f'(x+0.5) = 2f'(2x) ------ (式1),又若 x = 0 得 f'(0) = f'(0.5)。
又因 f ' 连续,所以对任意 a>0 , 存在 b > 0 使得
|| f'(x) - f'(x+0.5) || < || f'(x) - f'(0)|| + || f'(0) - f'(0.5) || + || f'(0.5) - f'(x+0.5) || < a/2 for all ||x||<b。
因 (式1),所以
|| f'(2x) - f'(0) || = (1/2)‧|| f'(x)-f'(0) + f'(x+0.5)-f'(0) ||
< (1/2)‧[ || f'(x) -f'(0) ||+|| f'(x)-f'(0) || +a/2 ]
< a for all || x || < b 。 即 for all ||2x||<2b。
所以 同时推出 || f'(y) - f'(0) || < a for all || y || < 4b.
如此推论得: 对任意 y ,有 || f'(y) - f'(0) || < a。
所以 f'(x) = f'(0) for all x。
所以 f 是 linear,又因 f 是周期函数。
所以 f = 0。
鍾耀棋
五年级
8
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把证明压缩一下长度,
证:
因为 f(x) + f(x+0.5) = f(2x) , 且 f ' 连续,所以
有 f'(x) + f'(x+0.5) = 2f'(2x) ------ (式1),又若 x = 0 得 f'(0) = f'(0.5)。
又因 f ' 连续 且 周期,所以 f ' 也是个一致连续函数,
所以对任意 a>0 , 存在 b > 0 使得
|| f'(m) - f'(n) || < a for all || m-n ||<b。
因 (式1),所以
|| f'(2x) - f'(0) || = (1/2)‧|| f'(x)-f'(0) + f'(x+0.5)-f'(0.5) ||
< (1/2)‧[ || f'(x) -f'(0) ||+|| f'(x+0.5)-f'(0.5) || ]
< a for all || x || < b 。 即 for all ||2x||<2b。
所以 同时推出 || f'(y) - f'(0) || < a for all || y || < 4b.
如此推论得: 对任意 y ,有 || f'(y) - f'(0) || < a。
所以 f'(x) = f'(0) for all x。
所以 f 是 linear,又因 f 是周期函数。
所以 f = 0。
Akiang2012
五年级
8
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楼主,求答案解析
mscheng19
六年级
9
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f'(2x)=0.5【f'(x)+f'(x+0.5)】递推下去有
f'(x)=2^(-n)【f'(x/2^n)+f'(x/2^n+1/2^n)+...+f'(x/2^n+(2^n-1)/2^n】趋于 积分(从0到1)f'(t)dt=f(1)-f(0)=0,因此f是常函数。
limanjiashe
托儿所
1
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听说是南京大学2013年考研试题,我没答案~
caiBqiudai_dot
托儿所
1
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首先证等式两边同时从0积到0.5,可证,f(x)积分期间0-1时为0
f(x)+f(x+0. 5)=f(2x)
f(x)+f(x+0. 25)+f(x+0. 5)+f(x+0.75)=f(2x)+f(2x+0.5)=f(4x) 这是1式
1式令x'=x+0.125,则有
f(x+0.125)+f(x+0. 25+0.125)+f(x+0. 5+0.125)+f(x+0.75+0.125)=f(4x+0.5) 这是2 式
1式+2 式
f(x)+f(x+0.125)+..+f(x+0.875)=f(4x) +f(4x+0.5)=f(8x)
以此类推
f(x)+f(x+0.125)+..+f(x+0.875)=f(4x) +f(4x+0.5)=f(8x)
∑ f(x+k/2n)=f(2^nx)
∑ f(x+k/2n)=f(x)从0积到1
就可以得到f(2^nx)对于任意x=0.则f(x)=0
请各位验证是否正确
潶色de眼眸ぺ
初一年级
10
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浮S思
初三年级
12
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ytdwdw
五年级
8
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没有仔细看上面的解答, 不知道正确与否.
以下方法应该是正招.
ytdwdw
五年级
8
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另一方法. 与上面有的解法思路一样, 但那些证明很多没有写好. 列出以下证明是希望读者学会在叙述汇中用一致连续模.
ytdwdw
五年级
8
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ytdwdw
五年级
8
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